Tiêu đề Bài 8_ _Lời giải.pdf ✅

BÀI GIẢNG TOÁN 12-KẾT NỐI TRI THỨC -PHIÊN BẢN 25-26 1 BÀI 8. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phé́p nhần một số với một vectơ Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a x y z =  ; ;  r và b x y z =  ¢ ¢ ; ; ¢ r . Ta có: a b x x y y z z + =  + + ¢; ; + ¢ ¢ r r ; a b x x y y z z - =  - - ¢; ; - ¢ ¢ r r ; ka kx ky kz =  ; ;  r với k là một số thực. Nhận xét. Vectơ a x y z =  ; ;  r cùng phương với vectơ b x y z =  ¢ ¢ ; ; 0 ¢ 1 r r khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho . x kx y ky z kz ì = ï í = ï = ¢ ¢ î ¢ Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a = 2;1;5 r và b = 2;2;1 r . Tìm toạ độ của mỗi vectơ sau: a) a b - r r ; b) 3 2 a b + r r . Lời giải a) Vì a = 2;1;5 r và b = 2;2;1 r nên a b - = - - - = - 2 2;1 2;5 1 0; 1;4    r r . b) Ta có 3 3 2;3 1;3 5 6;3;15 a = × × × =     r và 2 2 2;2 2;2 1 4;4;2 b = × × × =     r . Do đó 3 2 6 4;3 4;15 2 10;7;17 a b + = + + + =     r r . Trong không gian Oxyz cho ba điểm không thẳng hàng A x y z B x y z  A A A B B B ; ; , ; ;    và C x y z  C C C ; ; . Khi đó: - Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng AB là ; ; 2 2 2 A B A B A B æ ö x x y y z z + + + ç ÷ è ø ; - Toạ độ trọng tâm của tam giác ABC là ; ; 3 3 3 A B C A B C A B C æ ö x x x y y y z z z + + + + + + ç ÷ è ø . Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A B (1;2;3), (3;2;1) và C(2; 1- ; 5). Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. Lời giải Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên toạ độ của điểm M là 1 3 2 2 3 1 ; ; 2 2 2 æ ö + + + ç ÷ è ø , suy ra M(2;2;2).

BÀI GIẢNG TOÁN 12-KẾT NỐI TRI THỨC -PHIÊN BẢN 25-26 3 Lời giải a) Vì A trùng gốc toạ độ nên A(0;0;0). Vì B thuộc tia $O x$ và AB = 3 nên B(3;0;0). Vì D thuộc tia Oy và AD = 4 nên D(0;4;0). Vì S thuộc tia Oz và AS = 2 nên S(0;0;2). Vì hình chiếu của C lên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là B,D,A nên C(3;4;0). b) Ta có BD = - - - = - (0 3;4 0;0 0) ( 3;4;0) uuur , suy ra 2 2 2 BD BD = = - + + = | | ( 3) 4 0 5 uuur . Ta có SC = - - - = - (3 0;4 0;0 2) (3;4; 2) uuur , suy ra 2 2 2 SC SC = = + + - = | | 3 4 ( 2) 29 uuur . c) Ta có ( 3) 3 4 4 0 ( 2) 7 cos( , ) | | | | 5 29 5 29 BD SC BD SC BD SC × - × + × + × - = = = × uuur uuur uuur uuur uuur uuur , suy ra ( , ) 74,9 BD SC ° » uuur uuur . Chú ý. Nếu A x y z  A A A ; ;  và B x y z  B B B ; ;  thì       2 2 2 | | B A B A B A AB AB x x y y z z = = - + - + - uuur . Đặc biệt, khi B trùng O ta nhận được công thức 2 2 2 OA x y z A A A = + + . 3. VẬN DỤNG TỌA Độ CỦA VECTƠ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN Ví dụ 5. Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(800;500;7) đến điểm B(940;550;8) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì? Lời giải
BÀI GIẢNG TOÁN 12-KẾT NỐI TRI THỨC -PHIÊN BẢN 25-26 4 Gọi C x y z ( ; ; ) là vị trí của máy bay sau 5 phút tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên AB uuur và BC uuur cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B gấp đôi thời gian bay từ B đến C nên AB BC = 2 . Do đó 1 940 800 550 500 8 7 ; ; (70;25;0,5) 2 2 2 2 BC AB æ ö - - - = = = ç ÷ è ø uuur uuur . Mặt khác, BC x y z = - - - ( 940; 550; 8) uuur nên 940 70 550 25 8 0,5. x y z ì - = ï í - = ï - = î . Từ đó 1010 575 8,5 x y z ì = ï í = ï = î và vì vậy C(1010;575;8,5) . Vậy toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là (1010;575;8,5). Ví dụ 6. Hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu. Lời giải Vì điểm A¢ có toạ độ là 240;450;0 nên khoảng cách từ A¢ đến các trục Ox Oy , lần lượt là 450 cm và 240 cm . Suy ra A A¢ = 450 cm và A O¢ ¢ = 240 cm . Từ giả thiết suy ra A B¢ ¢ = - 120;0;300 uuuur , do đó   2 2 2 A B A B ¢ ¢ ¢ = = - + + = ¢ ( 120) 0 300 60 29 323 cm » uuuur . Vì O O A A ¢ ¢ = = 450 cm và O¢ nằm trên trục O yên tọa độ của điểm O¢ là (0;450;0 ). Do đó O B¢ ¢ = 120;0;300 uuuur và   2 2 2 O B O B ¢ ¢ = = + ¢ ¢ 120 0 300 60 29 323 cm + = » uuuur . Vậy mỗi căn nhà gỗ có chiều dài là 450 cm , chiều rộng là 240 cm , mỗi cạnh bên của mặt tiền có độ dài là 323 cm . Ví dụ 7. Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía nam và 1 km về phia đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km . Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 km . Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.50 ), đơn vị đo lấy theo kilômét. a) Tìm toạ độ của mỗi chiếc khinh khí cầu đối với hệ tọa độ đã chọn. b) Xác định khoảng cách giữa hai khinh khí cầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Lời giải