Tiêu đề GỘP CHƯƠNG 2_Bpt & Hệ BPT bậc nhất 2 ẩn_Lời giải.pdf ✅

BÀI 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là: ax  by  c ax  by  c,ax  by  c,ax  by  c trong đó a,b,c là những số thực đã cho a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số. Cặp số  x0 ; y0  được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax  by  c nếu bất đẳng thức 0 0 ax  by  c đúng. Nhận xét. Bất bất phương bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. 2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ • Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax  by  c được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó. • Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình ax  by  c chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng bờ d : - Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d ) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn ax  by  c; - Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ d ) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn ax  by  c. Bờ d gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn ax  by  c. Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax  by  c . • Vẽ đường thẳng d : ax  by  c trên mặt phẳng tọa độ Oxy. • Lấy một điểm M0  x0 ; y0  không thuộc d . • Tính 0 0 ax  by và so sánh với c . Nếu 0 0 ax  by  c thì nửa mặt phẳng bờ d chứa M0 là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu 0 0 ax  by  c thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa M0 là miền nghiệm của bất phương trình. Chú ý. Miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c là miền nghiệm của bất phương trình ax  by  c bỏ đi đường thẳng ax  by  c và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt. B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Phương pháp Bất phương trình bậc nhất hai ẩn Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là mệnh đề chứa hai biến có một trong các dạng , ax by c ax by c ax by c ax by c            trong đó a,b,c là các số thực với 2 2 a  b  0 . Nghiệm của bất phương trình
Cặp số  x0 ; y0  để 0 0 ax  by  c là bất đẳng thức đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình ax  by  c. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình được gọi là miền nghiệm của nó. Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình ax  by  c như sau (tương tự cho bất phương trình ax  by  c). Bước 1. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy vẽ đường thẳng  : ax  by  c. Bước 2. Lấy một điểm M0  x0 ; y0  không thuộc  (ta thường lấy gốc toạ độ O). Bước 3. Tính 0 0 ax  by và so sánh 0 0 ax  by với c. Bước 4. Kết luận. +) Nếu 0 0 ax  by  c thì nửa mặt phẳng bờ  chứa M0 là miền nghiệm của 0 0 ax  by  c. +) Nếu 0 0 ax  by  c thì nửa mặt phẳng bờ  không chứa M0 là miền nghiệm của 0 0 ax  by  c. Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình 0 0 ax  by  c bỏ đi đường thẳng 0 0 ax  by  c là miền nghiệm của bất phương trình 0 0 ax  by  c. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau: a) 2x  y  0. b) 2 2 1 . 2 3 x  y x  y   Lời giải a) Trong mặt phẳng toạ độ, vẽ đường thẳng d : 2x  y  0. Ta có d chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm M 1;0. Ta thấy 1;0 là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ chứa d và chứa điểm M 1;0 (miền không được tô màu trên hình vẽ). b) Ta có
2 2 1 2 3 x  y x  y    3 x  2y  22x  y 1  0  x  4y  2  0  x  4y  2  0 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đường thẳng  : x  4y  2  0. Xét điểm O0;0, ta thấy 0;0 không phải là nghiệm của bất phương trình đã cho, do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ  (không kể đường thẳng ) và không chứa điểm O0;0 (miền không được tô đậm như hình vẽ). Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau: a) x  3y  0 . b) 1 2 x y x y      . Lời giải a) Trong mặt phẳng toạ độ, vẽ đường thẳng d : x  3y  0. Ta có d chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn một điểm bất kì không thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm N 1;0. Ta thấy 1;0 là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ chứa d và chứa điểm N 1;0 (miền không được tô đậm trên hình vẽ). b) Ta có 1 2( 1) 2 x y x y x y x y             3x  y  2  0 . Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đường thẳng  : 3x  y  2  0 . Xét điểm O(0;0), ta thấy 0;0 là nghiệm của bất phương trình đã cho, do đó miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bờ  (không kể đường thẳng ) và chứa điểm O0;0 (miền không được tô đậm trên hình vẽ).
3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn? A. 2 2x  3y  0 B. 2 2 x  y  2 C. 2 x  y  0 D. x  y  0 Lời giải Chọn D Theo định nghĩa thì x + y 3 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Các bất phương trình còn lại là bất phương trình bậc hai. Câu 2: Cho bất phương trình 2x  3y  6  0 . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Bất phương trình (1) chỉ có một nghiệm duy nhất. B. Bất phương trình (1) vô nghiệm. C. Bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm. D. Bất phương trình (1) có tập nghiệm là  . Lời giải Chọn C Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng (d ): 2x +3y -6 = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Chọn điểm O(0;0) không thuộc đường thẳng đó. Ta thấy (x; y)=(0;0) là nghiệm của bất phương trình đã cho. Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ (d) chứa điểm O(0;0) kể cả (d). Vậy bất phương trình (1) luôn có vô số nghiệm. Câu 3: Miền nghiệm của bất phương trình: 3x  2( y  3)  4(x 1)  y  3 là nửa mặt phẳng chứa điểm: A. (3;0) B. (3;1) C. (2;1) D. (0;0) Lời giải Chọn C Ta có 3x +2( y +3)3 4(x +1)- y +3Û- x +3y-13 0 . Vì -2+3.1-1> 0 là mệnh đề đúng nên miền nghiệm của bất phương trình trên chứa điểm có tọa độ (2;1).