Tiêu đề 5.Chuyên đề 5. Chứng minh đẳng thức và tính giá trị bieu thuc.pdf ✅

1 CHUYÊN ĐỀ 5: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài 1. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hà nội năm học 2023-2024) Cho ba số thực x y z , , thỏa mãn xy yz zx  0 và x y z    230 . Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 P x y z    . Bài 2. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Bình Phước năm học 2023-2024) Tính giá trị của a b  biết    2 2 a a b b      2024 2024 2024 . Bài 3. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Phú Thọ năm học 2023-2024) Cho x y z ; ; là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 2 2 2 4 4 0 4 12 0 . 4 4 0 x y x y y z y y y z xz                    Chứng minh rằng: xy yz x y z      2 2 14. Bài 4. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Nam Định năm học 2023-2024) Cho abc , , là các số thực dương thoả mãn abc    5 và abc    3. Chứng minh rằng       2 . 2 1 2 1 2 1 c b a c a b a bc b ac c ab b a              Bài 5. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2023-2024) Cho abc , , là các số thực sao cho abc    2 và 1. a b c b c c a a b       Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 Q . b c c a a b       Bài 6. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hà Giang năm học 2023-2024) Cho x, y,z là các số thực không âm thỏa mãn xy yz zx  4 và 2 2 2 2 2 2 x y z ( x y ) ( y z ) ( z x )         . Tính giá trị của biểu thức T x y z    . Bài 7. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hồ Chí Minh năm học 2023-2024) Cho các số thực abc , , thoả mãn điều kiện 2024 a b c b c c a a b       . Tính giá trị của biểu thức   1 1 1 P a b c b c c a a b               . Bài 8. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Quảng Ninh năm học 2023-2024) Cho ba số abc , , thỏa mãn abc 1 và 1 1 1 a b c 0 a b c       . Chứng minh ( 1)( 1)( 1) 0 abc     . Bài 9. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Quảng Ninh năm học 2023-2024)
2 Cho các số thực x y z , , khác 0 thỏa mãn điều kiện x y z    0. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 x y z Q x y z y z x z x y          là một số nguyên. Bài 10. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Thái Bình năm học 2023-2024) 1. Cho các số thực dương ab, thỏa mãn: b a a     1 1  . Tính giá trị của biểu thức:    2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 b a a b P a b a b          . 2. Chứng minh: 2 2 2 2023 2023 1 2023 2024 2024 B     là số tự nhiên. Bài 11. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Sơn La năm học 2023-2024) a) Rút gọn biểu thức: 2 2 2 2 2 2 . 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 2 2 3 2023 2024 P           b) Cho 0 2  x thỏa mãn:     2 2 2 2 3 5 1 24 3 1 23 1 2 1 x x x x x x x x           . Tính giá trị của biểu thức:     2024 2 2023 2 1 T x x 2 x x      . Bài 12. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Tiền Giang năm học 2023-2024) Cho a b c , , là các số thực khác 0 thỏa mãn a b c  11 và 1 1 1  1. a b c Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 P a b c abc    2 . Bài 13. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Thanh Hóa năm học 2023-2024) Cho a là số thực thoản mãn    3 a a 1 0. Tính giá trị của biểu thức:        6 4 2 2 B a a a a a a a 2 4 4 3 2 3 2 Bài 14. (Trích đề học sinh giỏi toán 9 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2023-2024) Cho các số thực ab, thóa mãn ab  0 và     2 2 2 2 3 4 3 2          a a b bc b a b ca . Tỉh giá trị của biều thức 4 4 4 4 2a b P b 3a    . HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1. Giả sử tồn tại hai số nguyên x y, lớn hơn 1 sao cho  x y y     1 1  chia hết cho 2 x xy  1 . Khi đó         2 x y y x xy x y x y           1 1 1 1 chia hết cho 2 x xy  1 . Mà x y  và
3 2 x xy  1 nguyên tố cùng nhau nên x y  1 chia hết cho 2 x xy  1 , mâu thuẫn vì 2 x xy x y       1 1 0 . Vậy, không tồn tại hai số nguyên x y, lớn hơn 1 sao cho  x y y     1 1  chia hết cho 2 x xy  1 . Bài 2. Ta có :    2 2 2 2 a a a a a a         2024 2024 2024 2024. Kết hợp với giả thiết ta suy ra 2 2 a a b b      2024 2024 Tương tự ta cũng có : 2 2 b b a a      2024 2024 2 2 2 2 2024 2024 2024 2024 0 b b a a a a b b a b                Bài 3.                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 9 1 2 4 4 0 4 12 0 2 16 2 4 4 0 2 1 3 x y x y x y y z y y z y y z xz y x z                                      Từ (1) và (2) suy ra      2 2 x z x z x z            1 7 1 1 7 (4). Từ (2) và (3) suy ra   2 16 z z x z x z x z ( 1) 16 1 16 1 (5). z            Thế (5) vào (4) ta có   16 9 1 . 7 1 16 z x z x z        (6) Suy ra 2 2 9 16 16 16 5 z z z     (do z  0 ) Thế vào (2) suy ra     2 12 22 2 144 5 5 ( 2) . 25 12 2 2 5 5 y y tm y y y l                         Thế vào (6) suy ra 4 . 5 x  Vậy ta có xy yz x y z      2 2 14. Bài 4. Vì abc    5 và abc    3 nên ab bc ca    2 . Ta có a bc a bc a bc ab bc ca a b a c              2 1 2 2 2     . Suy ra 2 1      c b c b a bc a b a c        .
4 Chứng minh tương tự 2 1      a c a c b ac b c b a        . 2 1      a b a b c ab c a c b        . Do đó 2 1 2 1 2 1       c b a c a b a bc b ac c ab                     c b a c a b a b a c b c b a c a c b             1 1 1 1 1 1 a c a b b a b c c a c b             2 b a   . Bài 5. Do 1 a b c b c c a a b       nên 1 1 1 4 a b c b c c a a b          Hay   1 1 1 abc 4. b c c a a b               Mà abc    2 suy ra 1 1 1 Q 2. b c c a a b        Bài 6. Từ       2 2 2 2 2 2 x y z x y y z z x         2 2 2 2 2 2 2 2 2             x y z x xy y y yz z z zx x 2 2 2   2 2 2 2 2 2          x y z x y z xy yz zx 2 2 2 2 2 2 2     x y z 8 Xét   2 2 2 2 ( x y z ) x y z xy yz zx         2 2       ( x y z ) . 8 2 4 16      x y z 4 Vậy T x y z     4 (do x, y,z là các số thực không âm) Bài 7. 2024 a b c b c c a a b      