Tiêu đề Bài 01_Dạng 01. Lý thuyết và xác định, chứng minh đẳng thức, độ dài vectơ_HS.pdf ✅

Chương 2. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau: Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là AB . Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là a b x y , , , , Độ dài của vectơ AB được kí hiệu là AB , độ dài của vectơ a được kí hiệu là a Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó (Hình 1). Hình 1. Đường thẳng d là giá của vectơ a Tương tự như trường hợp của vectơ trong mặt phẳng, ta có các khái niệm sau đối với vectơ trong không gian: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau. Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng. Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau, kí hiệu a b  , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian: 2 VECTƠ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN BÀI 01 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A LÝ THUYẾT CẦN NHỚ 1 Vectơ trong không gian
Chương 2. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trong không gian, với mỗi điểm O và vectơ a cho trước, có duy nhất điểm M sao cho OM a  Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như AA BB , , gọi là các vectơ-không. Ta quy ước vectơ không có độ dài là 0, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ không đều bằng nhau và được kí hiệu chung là 0 . a) Tổng của hai vectơ trong không gian Trong không gian, cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm O bất kì và các điểm A , B sao cho OA a  và AB b  . Khi đó, vectơ OB được gọi là tổng của hai vectơ a và b , ký hiệu là a b  . Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ. Nhận xét: Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian: Quy tắc ba điểm: Nếu A B C , , là ba điểm bất kì thì AB BC AC   Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AB AD AC   Quy tắc hình hộp chữ nhật: Cho hình hộp ABCD A B C D .     . Ta có AB AD AA AC     . Hệ thức tương tự: BA BC BB BD     Chú ý: Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng vectơ trong không gian có các tính chất sau: 2 Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

Chương 2. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trong không gian, điều kiện cần và đủ để hai vectơ a a và b b  0 cùng phương là có một số thực k sao cho a kb  . Hệ thức trung điểm, trọng tâm:  Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì IA IB   0 ; IA IB   ; 1 2 AI AB  ;...  Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì GA GB GC    0 ; 2 3 GA AK   ; GA GK  2 ;... Nhận xét:  Với hai vectơ a và b bất kỳ, với mọi số h và k , ta luôn có:     k a b ka kb       h k a ha ka    h ka hk a       1.a a      1 . a a 0 . 0 0 a k a k          Hai vectơ a và b ( b khác 0 ) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho a k b  .  Ba điểm phân biệt A B C , , thẳng hàng khi và chỉ khi có số k  0 sao cho AB k AC  Góc giữa hai vectơ Trong không gian, cho hai vectơ u v, khác 0 . Lấy một điểm A bất kì và gọi B C, là hai điểm sao cho AB   u C v , A . Khi đó, góc BAC BAC 0 180      được gọi là góc giữa hai vectơ u và v , kí hiệu là u v,  .  Nếu u cùng hướng với v thì u v, 0    ; ngược hướng thì u v, 180    ; vuông góc thì u v, 90    Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ: Trong không gian, cho hai vectơ u v, khác 0 . Tích vô hướng của hai vectơ u và v là một số, kí hiệu là uv. , được xác định bởi công thức: u v u v u v . . .cos ,   .  Trong trường hợp u  0 hoặc v  0 ta quy ước uv. 0   2 2 2 2 u u u u u u u . ; 0; 0 0        Với hai vectơ u v, khác 0 , ta có   . cos , . u v u v u v  4 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian