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ENSA AGADIR ELECTROMAGNÉTISME-S4 TD CORRIGES 2019 2020 COURS EN LIGNE https://sites.google.com/site/saborpcmath/ PAR WHATSAPP :06-02-49-49-25 COURS DE SOUTIEN SMPC SMAI CPGE ENSA,M FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire PHYSIQUE : MATH : INFORMATIQUE : CHIMIE : Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74
ENSA / Agadir / CP 2 Rappels Complément mathématique Exercice 1 : Fonction à plusieurs variables-dérivée partielle A) Champ scalaire : V , Ep, P Exemples : Le potentiel V ⇒ calcul de−→E : −→E = − −−→gradV ( En électrostatique ) L'énergie potentielle Ep ⇒ calcul de−→F : −→F = − −−→gradEp. La pression P ⇒ calcul de force pressante−→f v : −→f v = − −−→gradP.. Soit f une fonction scalaire : f(x, y, z) = 2x 2 y − z 3 + 4 1. Calculer la dérivée partielle de f(x, y, z) par rapport à x, y et z 2. Déduire −−→gradf. Réponse : 1) Dérivée partielle : - la dérivée partielle de f(x, y, z) par rapport à x : ∂f ∂x = 2.2xy = 4xy à y, z Ctes - la dérivée partielle de f(x, y, z) par rapport à y : ∂f ∂y = 2x 2 = 2x 2 à x, z Ctes - la dérivée partielle de f(x, y, z) par rapport à z : ∂f ∂z = −3z 2 à x, y Ctes 2) Gradient : −−→gradf = ∂f ∂x −→u x + ∂f ∂y −→u y + ∂f ∂z −→u z = 4xy−→u x + 2x 2−→u y − 3z 2−→u z B) Champ vectoriel : −→v , −→E , −→B et −→A On considère le champ vectoriel : −→A = x 2 y −→u x − x 3 y 2−→u y + 4xy−→u z 1. Préciser les composantes du vecteur −→A Électromagnétisme 1 TD0/2019-2020
ENSA / Agadir / CP 2 2. Calculer div−→A Réponse : 1) composantes du vecteur : Ax = x 2 y, Ay = −x 3 y 2 , Az = 4xy 2) Opérateur divergent : div−→A = ∂Ax ∂x + ∂Ay ∂y + ∂Az ∂z = 2xy − 2x 3 y Exercice 2 : Champ électrique d'une charge ponctuelle On considère une charge ponctuelle q placer en en O et M un point dans l'espace. 1. Donner l'expression du vecteur position −−→OM, en coordonnées cartésiennes et en coordonnées sphériques. 2. Donner l'expression du champ électrostatique crée par la charge ponctuelle en −−→OM. 3. déduire l'expression du potentiel scalaire V (M). 4. Calculer div −−−→ E(M) en utilisant : (a) Les coordonnées cartésiennes. (b) Les coordonnées sphériques. (c) Commenter. Exercice 3 : Opérateurs et champ scalaire On considère une onde plane scalaire en notation complexe : A( −→r , t) = A0 exp i( −→k .−→r − ωt) où A0 = A0 exp iφ est l'amplitude complexe de l'onde, −→k est le vecteur d'onde et ω est la pulsation de l'onde. 1. Exprimer le gradient de A( −→r , t) en fonction du vecteur d'onde −→k et de A( −→r , t) 2. Exprimer le laplacien de A( −→r , t) en fonction du vecteur d'onde −→k et de A( −→r , t). 3. Quelle est la relation entre les deux notation, réelle et complexe de l'onde. 4. Déduire l'expression de l'onde en notation réelle. Exercice 4 : Opérateurs et champ vectoriel. On considère maintenant une onde plane vectorielle en notation complexe : −→E (M, t) = −→E 0 exp i(ωt − −→k .−→r ) 1. Exprimer la divergence de −→E ( −→r , t) en fonction du vecteur d'onde −→k et de −→E ( −→r , t) 2. Exprimer le rotationnel de −→E ( −→r , t) en fonction du vecteur d'onde −→k et de −→E ( −→r , t). 3. Exprimer le champ électrique en notation réelle. Électromagnétisme 2 TD0/2019-2020
ENSA / Agadir / CP 2 Rappels Complément mathématique Exercice 1 : Fonction à plusieurs variables-dérivée partielle A) Champ scalaire : V , Ep, P Exemples : Le potentiel V ⇒ calcul de−→E : −→E = − −−→gradV ( En électrostatique ) L'énergie potentielle Ep ⇒ calcul de−→F : −→F = − −−→gradEp. La pression P ⇒ calcul de force pressante−→f v : −→f v = − −−→gradP.. Soit f une fonction scalaire : f(x, y, z) = 2x 2 y − z 3 + 4 1. Calculer la dérivée partielle de f(x, y, z) par rapport à x, y et z 2. Déduire −−→gradf. Réponse : 1) Dérivée partielle : - la dérivée partielle de f(x, y, z) par rapport à x : ∂f ∂x = 2.2xy = 4xy à y, z Ctes - la dérivée partielle de f(x, y, z) par rapport à y : ∂f ∂y = 2x 2 = 2x 2 à x, z Ctes - la dérivée partielle de f(x, y, z) par rapport à z : ∂f ∂z = −3z 2 à x, y Ctes 2) Gradient : −−→gradf = ∂f ∂x −→u x + ∂f ∂y −→u y + ∂f ∂z −→u z = 4xy−→u x + 2x 2−→u y − 3z 2−→u z B) Champ vectoriel : −→v , −→E , −→B et −→A On considère le champ vectoriel : −→A = x 2 y −→u x − x 3 y 2−→u y + 4xy−→u z 1. Préciser les composantes du vecteur −→A Électromagnétisme 1 TD0/2019-2020