Tiêu đề Đề số 5.docx ✅

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề số 5 Câu 1: 1. Cho biểu thức 22 (1) 2 xx Px xxxx      với x > 0 và 4x a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm tất cả các số chính phương x để P là số nguyên. 2. Cho n > 1 là số nguyên dương, chứng minh rằng: a) 1 11 .  222nnn nnn    b) 234 1231 1. 2222n n  Câu 2: 1. Một xe máy xuất phát từ địa điểm A đến địa điểm B, sau đó 45 phút một xe ô tô cũng xuất phát từ địa điểm A đi đến địa điểm B với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 30km/h. Cả hai xe đến địa điểm B cùng một lúc. Biết hai địa điểm A và B cách nhau 100km và vận tốc của mỗi xe là không đổi. Tìm vận tốc của mỗi xe. 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 1 3 2yx cắt hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại A, B. a) Tìm tọa độ của A, B. b) Viết phương trình đường thẳng (  ) đi qua M(2;-2) và cắt đoạn thẳng OA tại C sao cho diện tích tam giác AMC bằng 5. Câu 3: 1. Chứng minh rằng n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương với mọi số nguyên n. 2. Giải phương trình 31427.xxx 3. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1. a) Chứng minh rằng 1813.a b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 818181.Mabc Câu 4:
1. Cho hình thang ABCD (AB // CD) có 90BADADC∘ và AB = 8cm, AD = 6cm, CD = 10 cm. Gọi M là trung điểm BC, H thuộc CD sao cho BH vuông góc với CD. Tính độ dài BC và chứng minh tam giác AHM vuông. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A và AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm M (khác với A, C), vẽ tam giác MCP vuông tại C và MP // BC. Gọi N là điểm sao cho MCPN là hình chữ nhật, Q là giao điểm của MP và BN. a) Chứng minh rằng Q là trung điểm của BN. b) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh AC thì Q luôn thuộc đường trung tuyến AE của tam giác ABC. Câu 5: Cho tam giác ABC có góc B tù, AC > AB và nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC; D là chân đường phân giác trong của  ().BACDBC a) Chứng minh rằng A, M, N, O cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi I là giao điểm của AD và MN, đường thẳng qua I vuông góc với AD cắt BC tại S. Chứng minh rằng tam giác ASD cân. c) Chứng minh SA là tiếp tuyến của đường tròn (O). d) Gọi E là điểm đối xứng với M qua B, đường tròn ngoại tiếp tam giác CME cắt AC tại F. Đường thẳng SA cắt FE, FM lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng AP = AQ ĐÁP ÁN Câu 1: 1. a) Ta có: (2)2 (1) (1)(2)(1) xx Px xxxx      2 (1) 1(1) x Px xxx      2 Px x b) Vì x là số chính phương nên 2()xnnN Suy ra 2 Pn n Để P nguyên thì {1;2}n
So sánh điều kiện ta được x = 1. 2. a) Ta có: 1 121 2222nnnn nnnn   1 2n n  b) 234 1231 1 2222n n  Áp dụng ý a) ta có 212 123 222 323 234 222 …………… 1 11 222nnn nnn    Cộng theo vế ta được: 23412231 1231233411 11 22222222222nnnn nnnn    Câu 2: 1. Gọi x (km/h) là vận tốc xe máy (x > 0) Vận tốc của xe ô tô là x + 30 (km/h) Thời gian xe máy đi từ A đến B là 100 x (h) Thời gian xe ô tô đi từ A đến B là 100 3x (h) Ta có phương trình: 1001003 304xx  2 390120000xx  x = 50 hoặc x = - 80 (loại) Vậy vận tốc xe máy là 50 (km/h) và vận tốc ô tô là 80 (km/h). 2. a) Xét x = 0 thì y = -3 nên B(0; -3) Xét y = 0 thì x = 6 nên A(6; 0) b) Gọi H là chân đường cao của M trong AMC , suy ra MH = 2. Ta có: 1 ..5 2AMCSMHAC , suy ra AC = 5. Vì C thuộc đoạn OA nên C(1;0)
Giả sử ():yaxb , khi đó 02 222 aba abb     Suy ra ():22yx . Câu 3: 1. Ta có: 22(1)(2)(3)13321nnnnnnnn 2223231nnnn 2231. nn 2. Điều kiện: 10 1. 70 x x x     Ta có: 31742xxx 22 (31)(7) 42 317 xx x xx    8(2) 2(2) 317 x x xx    8 (2)20 317x xx     2x (vì 8 20 317xx  ) Vậy phương trình có nghiệm là x = 2. 3. a) Ta có: 0,,1abc Suy ra 1819a hay 1819a b) Theo kết quả a) ta có (811)(381)0aa 8121aa Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = 0 hoặc a = 1. Tương tự ta có: 8121bb và 8121cc Cộng dồn các bất đẳng thức ta được: 8181812()35Mabcabc Vậy GTNN của M bằng 5 khi và chỉ khi a = 1; b = c = 0 hoặc b = 1; a = c = 0 hoặc c = 1; a = b = 0. Câu 4: