Tiêu đề Bài 7&8_Tọa độ vecto và biểu thức vecto_Lời giải_Toán 12_KNTT.docx ✅

BÀI 7. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. HỆ TRỤC TOA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trong không gian, ba trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi ,,ijk→→→ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox,Oy,Oz . - Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz . - Điểm O được gọi là gốc toạ độ. - Các mặt phẳng (Oxy),(Oyz),(Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng toạ độ. Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz Ví dụ 1. Cho hình lập phương .ABCDABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.36). Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh B và các vectơ ,,ijk→→→ lần lượt là các vectơ ,,BABCBB không? Giải thích vì sao. Lời giải Hình lập phương .ABCDABCD có các cạnh ,BABC và BB đồi một vuông góc với nhau. Vì hình lập phương có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên các vectơ ,,BABCBB cùng có điểm đầu là B và đều có độ dài bằng 1 . Từ các điều trên, suy ra có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh B và các vectơ ,,ijk→→→ lần lượt là các vectơ ,,BABCBB→→ . 2. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM, TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Trong không gian Oxyz cho một điểm M tuỳ ý. Bộ ba số (;,)xyz duy nhất sao cho OMxiyjzk→→→→ được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz . Khi đó, ta viết (;,)Mxyz hoặc (;,)Mxyz , trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M . Ví dụ 2. Hình 2.38 minh hoạ một hệ toạ độ Oxyz trong không gian cùng với các hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Tìm toạ độ của điểm M .
Lời giải Trong Hình 2.38, .ABCMFODE là hình hộp chữ nhật. Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra 343. OMOFODOBijk→→→→→→→ Vì vậy, toạ độ của điểm M là (3;4;3) . Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật .ABCDABCD có đỉnh A trùng với gốc O và các đỉnh ,,DBA lần lượt thuộc các tia Ox,Oy,Oz (H.2.40). Giả sử đỉnh C có toạ độ là 2;3;5 đối với hệ toạ độ Oxyz , hãy tìm toạ độ của các đỉnh ,,DBA đối với hệ tọa độ đó. Lời giải Vì đỉnh D thuộc tia Ox nên hai vectơ OD và i→ cùng phương, suy ra có số thực m sao cho ODmi→→ Tương tự, có các số thực ,np sao cho OBnj→→ và OApk→→ . Theo quy tắc hình hộp, suy ra OCODOBOAminjpk→→→→→→→ và do đó điểm C có toạ độ là ;;mnp . Mặt khác, đỉnh C có toạ độ là 2;3;5 nên 2,3,5mnp , tức là 2,3ODiOBj→→→→ và 5OAk→→ . Từ đây suy ra 2;0;0,0;3;0DB và 0;0;5A . Nhận xét. Nếu điểm M có toạ độ (;;)xyz đối với hệ toạ độ Oxyz thì: - Hình chiếu vuông góc của M trên các trục , OxOyvàOz có tọa độ lần lượt là (;0;0)x , (0;;0)y và (0;0;)z . - Hình chiếu vuông góc của M trên các mặt phẳng ,Oxy(Oyz) và (Ozx) có toạ độ lần lượt là (;;0),(0;,)xyyz và (;0;)xz .
Người ta chứng minh được rằng bộ ba số (;,)xyz trong HĐ3 là duy nhất. Trong không gian Oxyz cho vectơ a→ tuỳ ý. Bộ ba số (;;)xyz duy nhất sao cho axiyjzk→→→→ được gọi là toạ độ của vectơ a→ đối với hệ toạ độ Oxyz . Khi đó, ta viết (;;)axyz→ hoặc (;;)axyz→ . Nhận xét - Toạ độ của vectơ a→ cũng là toạ độ của điểm M sao cho OMa→→ . - Trong không gian, cho hai vectơ (;;)axyz→ và ;;bxyz→ . Khi đó, ab→→ nếu và chỉ nếu . xx yy zz        Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz hãy tìm toạ độ của các vectơ ,ij→→ và k→ . Lời giải Vì 100iijk→→→→ nên (1;0;0)i→ . Vì 010jijk→→→→ nên (0;1;0)j→ . Vì 001kijk→→→→ nên (0;0;1)k→ . Trong không gian Oxyz cho hai điểm ;;MMMMxyz và ;;NNNNxyz . Khi đó: ;;.NMNMNMMNxxyyzz→ Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ tam giác .ABCABC có (1;0;2),(3;2;5),(7;3;9)ABC và (5;0;1)A . a) Tìm toạ độ của A→ . b) Tìm toạ độ của các điểm ,BC . Lời giải a) Ta có: ;;(4;0;1)AAAAAAAAxxyyzz→ . b) Gọi toạ độ của điểm B là (;;)xyz thì (3;2;5)BBxyz→ . Vì .ABCABC là hình lăng trụ nên ABBA là hình bình hành, suy ra AABB→→ .
Do đó 34 20 51 x y z       hay 7,2xy và 4z . Vậy (7;2;4)B . Lập luận tương tự suy ra (11;3;8)C . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA 2.13. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ ,,abc→ →→ đều khác 0→ và có giá đôi một vuông góc. Những mệnh đề nào sau đây là đúng? a) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các trục toạ độ lần lượt song song với giá của các vectơ ,,abc→ →→ . b) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các trục toạ độ lần lượt trùng với giá của các vectơ ,,abc→ →→ . c) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các vectơ ,,ijk→→→ lần lượt bằng các vectơ ,,abc→ →→ . d) Có thể lập một hệ toạ độ Oxyz có các vectơ ,,ijk→→→ lần lượt cùng phương các vectơ a ,,abc→ →→ . Lời giải Cả 4 đáp án trên đều đúng. 2.14. Hãy mô tả hệ toạ độ Oxyz trong căn phòng ở Hình 2.44 sao cho gốc O trùng với góc trên của căn phòng, khung tranh nằm trong mặt phẳng ( Oxy ) và mặt trần nhà trùngvới mặt phẳng ()Oxz . Lời giải Hình vẽ phù hợp là 2.15. Trong không gian Oxyz xác định toạ độ của vectơ AB→ trong mỗi trường hợp sau: