Tiêu đề Đề Thi Olympic Toán Duyên Hải Bắc Bộ 2016-2017 (Khối 10) [Đáp Án].pdf ✅

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ X, NĂM 2017 ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC LỚP: 10 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 15/4/2017 (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) Bài 1. ( 4,0 điểm) Giải phương trình 2 x x x x       2 2 7 2 3 2 5( ) . Bài 2. ( 4,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB AC  ) nhọn, không cân nội tiếp đường tròn O. Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Đường tròn  J  ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là K ( ). K A  Đường thẳng AM cắt đường tròn  J  tại điểm thứ hai là Q ( ). Q A  EF cắt AD tại P. Đoạn PM cắt đường tròn  J  tại N. a) Chứng minh các đường thẳng KF EQ , , BC đồng quy hoặc song song và ba điểm K, P, Q thẳng hàng. b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp xúc nhau. Bài 3. ( 4,0 điểm) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên ( , , ) abc sao cho số ( )( )( ) 2 2 a b b c c a     là một lũy thừa của 2017 2016 (Một lũy thừa của 2017 2016 là một số có dạng 2017 2016 n với n là một số nguyên không âm). Bài 4. ( 4,0 điểm) Cho abc , , là ba số thực dương thỏa mãn 1 1 1 2 b c c a a b a b c ab bc ca               . Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c ab bc ca       3 2( ). Bài 5. ( 4,0 điểm) Cho một bảng ô vuông kích thước 10 10  , trên đó đã điền các số nguyên dương từ 1 đến 100 vào các ô vuông con theo trình tự như hình a. Ở mỗi bước biến đổi, người ta chọn tùy ý ba ô vuông con liên tiếp theo hàng hoặc theo cột hoặc theo một đường chéo của hình vuông kích thước 3 3 (xem hình b) rồi thực hiện: Hoặc là giảm số ở ô nằm giữa đi 2 đơn vị đồng thời tăng số ở hai ô liền kề lên 1 đơn vị, hoặc là tăng số ở ô nằm giữa lên 2 đơn vị đồng thời giảm số ở hai ô liền kề đi 1 đơn vị. Giả sử rằng sau hữu hạn bước biến đổi, tập hợp tất cả các số ghi trên bảng ô vuông vẫn là tập {1; 2; 3; ...; 100}. Chứng minh rằng khi đó các số ghi trên bảng theo đúng vị trí như trước khi biến đổi. 1 2 3 ... 9 10 11 12 13 ... 19 20 21 22 23 ... 29 30 ... ... ... ... ... ... 91 92 93 ... 99 100 Hình a – Bảng ô vuông ban đầu Hình b- Ba ô vuông con liên tiếp -------------- HẾT -------------- (Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh: ..................... ĐỀ CHÍNH THỨC
1 KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ X, NĂM 2017 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN HỌC LỚP: 10 (Đáp án gồm 07 trang) Bài 1: (4,0 điểm) Câu hỏi đề xuất của trường THPT chuyên Trần Phú- Hải Phòng. Giải phương trình 2 x x x      2 2 7 2 3 2 5 . Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM 1. 4,0 đ Cách 1 Điều kiện 7 3 2 2   x . Phương trình ban đầu tương đương với phương trình     2 6 2 2 7 2 3 2 2 1        x x x 0,5đ 4 4 4 4 2 1 3 2 7 3 2 1 x x x x x             1 4 4 1 1 3 2 7 3 2 1 x x x x               0,5đ Phương trình (1) 4 4 1 1 3 3 2 7 3 2 1 x x x                        0,5đ       2 6 2 6 3 3 2 7 1 2 7 2 3 1 2 3 3 x x x x x x x                   0,5đ         3 2 2 2 1 3 2 7 1 2 7 2 3 1 2 3 3 x x x x x                       0,5 đ Phương trình (2) vô nghiệm vì    2 3 2 7 1 2 7 VT x x       . 0,5 đ Lại có:    2 2 3 2 7 1 2 7 3 VP x x         0,5đ Vậy phương trình có nghiệm x 1 hoặc x 3. 0,5 đ ĐÁP ÁN
2 Cách 2 Điều kiện 7 3 2 2   x . Với điều kiện trên ta có: 3 5 2 2 7 2 x x     và 3 2 2 3 3 0 2         x x . Do đó : 1 1 2 1 1 1 0 x x x x 5 2 2 7 2 2 3 3 3 3                0,5đ 0,5đ 0,5đ     2 PT x x x x x x              5 2 2 7 2 2 3 3 2 3 0 0,5đ 2 2 2 3 2 3 2 2 3 0 5 2 2 7 2 2 3 3 x x x x x x x x x x                   (Mỗi nhân liên hợp cho 0,5 điểm) 1,0đ 2 1 1 ( 2 3) 1 0 5 2 2 7 2 2 3 3 1 3 x x x x x x x x                            0,5đ Vậy phương trình có nghiệm x 1 hoặc x 3. 0,5đ Bài 2: (4,0 điểm) Câu hỏi đề xuất của trường THPT chuyên Lam Sơn- Thanh Hóa. Cho tam giác ABC AB AC ( )  nhọn, không cân nội tiếp đường tròn O . Các đường cao AD , BE và CF cắt nhau tại H . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Đường tròn  J  ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là K ( ) K A  . Đường thẳng AM cắt đường tròn  J  tại điểm thứ hai là Q ( ). Q A  EF cắt AD tại P . Đoạn PM cắt đường tròn  J  tại N . a) Chứng minh các đường thẳng KF EQ , và BC đồng quy hoặc song song và ba điểm K, P, Q thẳng hàng b) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp xúc nhau. Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM
3 2 S L N P Q K J D H F E A' M O B C A 4 đ a. Cách 1 Gọi A’ là điểm đối xứng với H qua M, suy ra BHCA’ là hình bình hành. Do đó A C BH A B CH ' ; ' , suy ra 0 A CA A BA AA ' ' 90 '    là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Suy ra A K AK ' (1).  Dễ thấy AH là đường kính của đường tròn (J), suy ra HK AK  (2). Từ (1) và (2) suy ra K, H, A’ thẳng hàng. Mà H, M, A’ thẳng hàng nên suy ra K, H, M, A’ thẳng hàng. 0,5đ Gọi L là giao điểm của AK và BC. Từ các kết quả trên và giả thiết, suy ra H là trực tâm của tam giác ALM, suy ra LH vuông góc với AM, gọi Q LH AM Q J Q Q ' ' ( ) ' .      suy ra các tứ giác ABDE, ALDQ nội tiếp, suy ra HL HQ HA HD HB HE LBQE . . .    nội tiếp. 0,5đ Ta có: AF AB AE AC AK AL AH AD AQ AM . . . . .     . Suy ra các tứ giác KLBF, CMQE nội tiếp. Như vậy: LB là trục đẳng phương của hai đường tròn (LBQE) và (KLBF); KF là trục đẳng phương của hai đường tròn (KLBF) và (J); EQ là trục đẳng phương của hai đường tròn (J) và (LBQE). Do đó ba đường thẳng KF, EQ và BC đồng quy hoặc song song. 0,5đ EF là trục đẳng phương của hai đường tròn (BC) và (J) KQ là trục đẳng phương của hai đường tròn (J) và (LM) P P A LM A BC /( ) /( )  nên A thuộc trục đẳng phương của (LM) và (BC). Do AD vuông góc với đường nối tâm hai đường tròn (LM) và (BC) nên AD là trục đẳng phương của hai đường tròn (LM) và (BC). Lại có, P là giao điểm của EF với AD nên suy ra P thuộc KQ. 0,5đ Cách 2 Ta có AF AB AE AC AK AL AQ AM AF AB AH AD . . . . . .      , 0,5 đ Qua phép nghịch đảo  ( , . ) A AH AD , tâm A phương tích k AH AD  . : Đường thẳng KF biến thành đường tròn (ABL); đường thẳng EQ biến thành đường tròn (ACM); 0,5 đ đường thẳng BC biến thành đường tròn (AEF). Ba đường tròn (ABL); (ACM); (AEF) có chung nhau điểm A. 0,5đ