Tiêu đề Pembahasan Soal SMP Matematika - PSO LABUHAN BATU 2024.pdf ✅

Page 1 of 16 BIDANG : MATEMATIKA SMP POSI SCIENCE OLYMPIAD – LABUHAN BATU 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA SMP POSI SCIENCE OLYMPIAD (PSO) – LABUHAN BATU 2024 1. (Operasi bilangan bulat) – Mudah Hasil dari 9 + 2024: 11% × 7 23 − 5549 adalah ... a. 38 b. 60 c. 73 d. 87 Jawaban: B Pembahasan: Tinjau bahwa 2024 = 2 3 × 11 × 23. Akibatnya, diperoleh 9 + 2024: 11% × 7 23 − 5549 = 9 + 2024: 11 100 × 7 23 − 5549 = 9 + 2024 × 100 11 × 7 23 − 5549 = 9 + 2 3 × 11 × 23 × 100 11 × 7 23 − 5549 9 + 8 × 700 − 5549 = 9 + 5600 − 5549 = 60. 2. (FPB dan KPK) – Mudah Diberikan bilangan asli a dan b dengan a < b sehingga b − a = 7 dan KPK(a, b) = FPB(a, b) + a + 3b. Jika M = 20a + 24b, maka nilai M adalah ... a. 1023 b. 1149 c. 1400 d. 1568 Jawaban: C Pembahasan: Misalkan d = FPB(a, b), didapat a = dp dan b = dq untuk suatu bilangan asli relatif prima p dan q. Menurut sifat ab = KPK(a, b) ⋅ FPB(a, b), persamaan pada soal menjadi dpq = d + dp + 3dq ⇒ pq = p + 3q + 1 ⇒ p(q − 1) = 3q + 1 ⇒ p = 3q + 1 q − 1 = 3 + 4 q − 1 . Karena p merupakan bilangan asli, haruslah q − 1 ∈ {1,2,4} sehingga q ∈ {2,3,5}. ● Jika q = 2 , maka p = 3 + 4 2−1 = 3 + 4 = 7 sehingga diperoleh (p, q) = (7,2) yang memberikan 7 = b − a = dq − dp = 2d − 7d = −5d, kontradiksi dengan d merupakan bilangan bulat positif. ● Jika q = 3 , maka p = 3 + 4 3−1 = 3 + 2 = 5 sehingga diperoleh (p, q) = (5,3) yang memberikan 7 = b − a = dq − dp = 3d − 5d = −2d, kontradiksi dengan d merupakan bilangan bulat positif. ● Jika q = 5 , maka p = 3 + 4 5−1 = 3 + 1 = 4 sehingga diperoleh (p, q) = (4,5) yang memberikan 7 = b − a = dq − dp = 5d − 4d = d. Akibatnya, (a, b) = (28,35). Dengan demikian, M = 20a + 24b = 20 ⋅ 28 + 24 ⋅ 35 = 560 + 840 = 1400. 3. (Basis bilangan) – Mudah Jika 128 = x2, maka jumlahan digit-digit x adalah ... a. 2 b. 3
Page 2 of 16 BIDANG : MATEMATIKA SMP POSI SCIENCE OLYMPIAD – LABUHAN BATU 2024 FOKUS – HEBAT – JUARA c. 5 d. 7 Jawaban: A Pembahasan: Tinjau bahwa 128 = 1 ⋅ 8 1 + 2 ⋅ 8 0 = 1 ⋅ 2 3 + 0 ⋅ 2 2 + 1 ⋅ 2 1 + 0 ⋅ 2 0 = 10102. Dengan demikian, jumlahan digit-digit x = 1010 adalah 1 + 0 + 1 + 0 = 2. 4. (Sisa pembagian) – Mudah Sisa pembagian 1 × 101 + 2 × 102 + 3 × 103 + ⋯ + 2025 × 102025 . Oleh 11 adalah ... a. 4 b. 7 c. 8 d. 10 Jawaban: D Pembahasan: Tinjau bahwa 10k dibagi 11 bersisa {1,jika k genap; −1,jika k ganjil. Akibatnya, jumlahan pada soal setara dengan (dalam sisa pembagian oleh 11) −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − ⋯ − 2023 + 2024 − 2025 = 1 + 1 + 1 + ⋯ + 1⏟2024 2 =1012 buah angka 1 − 2025 = 1012 − 2025 = −1013. Berikutnya, karena 1100 = 11 × 100, diperoleh sisa pembagian yang dimaksud adalah −1013 + 1100 = 87 = 11 ⋅ 7 + 10. Dengan demikian, sisa pembagian yang dicari adalah 10. 5. (Operasi bilangan berpangkat) – Mudah Jika hasil dari 8 2024× 3 2023 2 2024−48 24×(121011−1) dapat ditulis dalam bentuk a × (b c + d) dengan a, b, c, dan d merupakan bilangan asli sehingga d < a < b < c, maka nilai dari 20a + b + c + 24d adalah ... a. 775 b. 894 c. 949 d. 1087 Jawaban: D Pembahasan: Tinjau bahwa dengan sifat a m × b m = (a × b)m, diperoleh 8 2024 × 3 2023 2 2024 − 48 24 × (121011 − 1) = 2 2024 × 4 2024 × 3 2023 2 2024 − 48 24 × (121011 − 1) = 4 × 4 2023 × 3 2023 − 48 24 × (121011 − 1) = 4 × 122023 − 48 24 × (121011 − 1) = 4 × 12 × 122022 − 48 24 × (121011 − 1) = 48 × 122022 − 48 24 × (121011 − 1) = 48 × (122022 − 1) 24 × (121011 − 1) = 2 × (121011 + 1) × (121011 − 1) 121011 − 1 = 2 × (121011 + 1). Jadi, diperoleh a = 2, b = 12, c = 1011, dan d = 1 sehingga 20a + b + c + 24d = 20 ⋅ 2 + 12 + 1011 + 24 ⋅ 1 = 40 + 1023 + 24 = 1087. 6. (Sisa pembagian) – Mudah Diketahui tiga bilangan 1238,1596, dan 2491 bersisa y ketika dibagi x. nilai dari x + y = ⋯ a. 286