Tiêu đề Mục 6. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU.pdf ✅

Mục 6. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU Những kiến thức buộc phải nhớ 1. Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau Định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: * Điểm đó cách đều hai tiếp điểm * Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến * Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. 2. Đường tròn nội tiếp tam giác Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác của góc trong của tam giác. 3. Đường tròn bàng tiếp Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với hai phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác . Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và , C hoặc là giao điểm của đường phân giác góc trong A và đường phân giác góc ngoài tại B (hoặc ). C Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp. BÀI TẬP Bài 62: (26/115/SGK T1) Cho đường tròn . (O) Điểm A nằm bên ngoài đường tròn . Kẻ các tiếp tuyến và AB AC với đường tròn ( B,C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh OA  BC b) Vẽ đường kính . CD Chứng minh rằng BD / /AO c) Tính độ dài các cạnh của , ABC biết ; OB  2cm OA  4cm Giải GT Đường tròn (O) A ở ngoài (O) AB và là AC tiếp tuyến của (O) CD là đường kính KL *OA  BC *BD / /OA * Tính các cạnh của khi ABC OB  2cm ; OA  4cm Chứng minh a) Chứng minh . OA  BC Muốn chứng minh được vuông góc AO với BC phải chứng minh được cân ABC tại . A ABC có: (vì và là hai AB  AC AB AC tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại nên theo A định lí. Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: Điểm đó cách đều hai tiếp điểm ABC cân tại (Tam giác có hai A cạnh bằng nhau là tam giác cân ) Đường phân giác AO của BAC lại là đường cao ứng với đáy ) BC vậy ( là AO  BC AO đường phân giác của theo BAC định lí...) b) Chứng minh . BD / /AO BCD có OB  OD  OC (cũng là bán kính của đường tròn ) vuông (O) tại (Theo định lí: 2 CD  BCD B Nếu một tam giác có đường trung tuyến thuộc cạnh nào bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông) (chøng minh tran) BD BC OA BC        BD / /OA(cùng vuông góc với ). BC c) Tính độ dài các cạnh của ABC. Muốn tính độ dài các cạnh của một tam giác ta thường sử dụng các định lí về tam giác vuông. Định lí được sử dụng nhiều nhất là định lí Py-ta-go. BOA vuông tại B (chứng minh trên) nên (Định lí Py-ta-go) 2 2 2 OA  OB  AB 2 2 2 2 2 2  AB  OA OB  AB  4  2 16  4 12
 AB  12  4.3  2 3(cm). Mà nên . AB  AC AC  2 3(cm) OBA vuông tại (Theo B định lí về tiếp tuyến ) có nên là nửa tam 1 .4 2( ) 2 2 OA OB  OD  OC    cm OBA giác đều nên là tam giác  OAB  30  BAC  2OAB  2.30  60 ABC đều  AB  BC  CA  2 3cm . Bài 63: (27/115/SGK T1) Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn , (O) kẻ các tiếp tuyến và AB AC với đường tròn ( là các B,C tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến với đường tròn , nó (O) cắt các tiếp tuyến và AB AC theo thứ tự ở và . D E Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng . 2AB Giải GT Đường tròn (O) Tiếp tuyến và AB AC M  BC Tiếp tuyến tại M cắt AB tại D cắt AC tại E KL Chứng minh chu vi ADC bằng 2AB Chứng minh AB , , là các AC DE tiếp tuyến của đường tròn . (O) Muốn giải được bài này ta phải sử dụng định lí: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: Điểm đó cách đều hai tiếp điểm...) Do đó ta có: DM  DB ; và EM  EC AB  AC (giả thiết) chu vi của là: ADE 2 AD DE EA AD DM EM AE AD BD EC AE AB AC AB              (vì ). AB  AC Bài 64: (28/116/SGK T1) Cho khác góc xAy bẹt. Tâm của đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của xAy nằm trên đường nào?
Giải Gọi là tâm O đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của . xAy Kẻ và thì OB  Ax OC  Ay được (cùng bán kính OB  OC của một đường tròn ) cách  O đều 2 cạnh của xAy nên O nằm trên tia phân giác của . xAy Bài 65: (29/116/SGK T1) Cho khác góc xAy bẹt. Điểm B thuộc tia . Hãy Ax dựng đường tròn (O) tiếp xúc với tại Ax và B tiếp xúc với Ay . Giải Làm thế nào để dựng được đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh Ax tại điểm và B cũng tiếp xúc với cạnh Ay của ? xAy Biết rằng đường tròn đã tiếp xúc với hai cạnh của một góc thì tâm của đường tròn đó cách đều hai cạnh của góc ấy. Theo tính chất đường phân giác của một góc: Mọi điểm nằm trên phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Do vậy ta có cách dựng:  Vẽ tia phân giác Am của . xAy  Vẽ Bn  Ax tại . B  Bn cắt Am tại . O  Vẽ đường tròn tâm , bán kính là O OB đường tròn phải dựng . Đường tròn này tiếp xúc với vì cách Ay O đều và . Ax Ay Bài 66: (30/116/SGK T1) Cho nửa đường tròn tâm có O đường kính là . AB Gọi và là các tia vuông góc Ax By với ( và AB Ax, By nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là ). Qua AB điểm M thuộc nửa đường tròn ( khác và ) M A B kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt , theo Ax By thứ tự ở và . C D a) Chứng minh . COD  90 b) . CD  AC  BD c) Chứng minh: Tích , không AC BD đổi khi điểm di M chuyển trên nửa đường tròn