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SMA5 INTEGRATION ́ CHAPITRE I TEORIE DE LA MESURE, ESPACES MESURABLES ́ UNIVERSITE MOULAY ISMAIL ́ 2020-2021 RAJAE BEN TAHER- MOHAMED RHOUDAF 1. Rappels Soient x et y deux nombres r ́eels, on note x ∨ y = max {x, y} = 1 2 (x + y + |x − y|) x ∧ y = min {x, y} = 1 2 (x + y − |x − y|) Plus g ́en ́eralement, si f et g sont deux fonctions r ́eelle; f ∨ g et f ∧ y sont des fonctions r ́eelles d ́efinies par, (f ∨ g)(x) = f(x) ∨ g(x) (f ∧ g)(x) = f(x) ∧ g(x) D ́efinition 1.1. Un sous ensemble E de R est dit major ́e, s’il existe un nombre M dans R tel que x ≤ M; pour tout x ∈ E. On dit que M est un majorant de E. En rempla ̧cant ≤ par ≥; on obtient les notions d’ensemble minor ́e et de minorant. Un ensemble qui est `a la fois major ́e et minor ́e est dit born ́e. On appelle borne sup ́erieure d’un sous ensemble E, un majorant qui est plus petit que les autres majorants. C’est l’ ́element S tel que x ≤ S; pour tout x ∈ E et S ≤ M; pour tout M majorant de E.
La borne sup ́erieure S = sup E ∈ R est caract ́eris ́ee par les deux propri ́et ́es suivantes: • i) ∀x ∈ E ; x ≤ S • ii) ∀ > 0 ∃ x ∈ E ; x ≥ S − De mˆeme, on d ́efinit s = inf E ∈ R , s est le plus grand minorant de E. La borne inf ́erieure s = inf E ⊂ R est caract ́eris ́ee par les deux propri ́et ́es suivantes: • i) ∀x ∈ E ; x ≥ s • ii) ∀ > 0 ∃ x ∈ E ; x ≤ s − Lorsqu’un ensemble A ⊂ R n’est pas major ́e ( n’est pas minor ́e), on pose sup A = +∞ ( resp inf A = −∞). Dans le calcul des mesures, on adopte les conventions de calcul suivantes (qui ne sont pas valables ailleurs) , on va travailler avec la droite achev ́ee R = R ∪ {+∞, −∞} munie de la relation d’ordre qui prolonge celle d ́efinie sur R telle que pour tout x de R; on ait a) −∞ < x < +∞ b) x ± ∞ = ±∞ + x = ±∞ c) (±∞) + (±∞) = (±∞) d) x.(+∞) = (+∞).x =    + ∞ si x > 0 − ∞ si x < 0 0 si x = 0 e) x.(−∞) = (−∞).x =    − ∞ si x > 0 + ∞ si x < 0 0 si x = 0 f) • (+∞) × (+∞) = +∞ 2
• (−∞) × (−∞) = +∞ • (+∞) × (−∞) = (−∞) × (+∞) = −∞ Bien sˆur (+∞) + (−∞) n’ est pas d ́efini. Dans la th ́eorie de la mesure , on a besoin de travailler avec les nombres +∞ et −∞, donc on va consid ́erer la droite r ́eelle ́etendue R = R ∪ {+∞, −∞}. Exercice Montrer que pour tout A ⊂ R; infA = −sup{−x ; x ∈ A}. D ́efinition 1.2. (Topologie) Soit X un ensemble non vide. On appelle toplogie sur X; la donn ́ee d’une partie Ω de P(x) (P(x) c’est l’ensemble des parties de X) telle que i) ∅ ∈ Ω et X ∈ Ω ii) Toute r ́eunion d’ ́el ́ements de Ω est un ́el ́ement de Ω iii) Toute intersection finie d’ ́el ́ements de Ω est un ́el ́ement de Ω. Le couple (X, Ω) est appel ́e espace topologique, les ́el ́ements de Ω sont appel ́es ouverts de X, le compl ́ementaire (dans X) d’un ouvert est appel ́e ferm ́e. - On v ́erifie facilement que les ensembles de la forme ]a, b[, [−∞, b[, ]a, +∞] ou toute r ́eunion de ces ensembles forment une topologie sur R et celle-ci induit sur R la topologie habituelle. (O est un ouvert dans R muni de la topologie habituelle ssi ∀a ∈ O, ∃ r > 0 / ]r − a, r + a[⊂ O). - Une suite dans R est convergente si elle converge dans R ou elle converge vers ±∞. D ́efinition 1.3. Soit {xn}n≥0 une suite d’ ́el ́ements dans R. On dit que lim n→∞ xn = +∞ si tout ouvert contenant +∞ contient 3
tous les xn sauf un nombre fini, autrement dit, ∀M > 0 , ∃N ∈ N tq ∀n ≥ N , xn > M. On dit que lim n→∞ xn = −∞, ∀M > 0, ∃N ∈ N tq ∀n ≥ N , xn < −M. Proposition 1.4. : • Toute suite {xn}n≥0 dans R croissante est convergente dans R. • Toute suite {yn}n≥0 dans R d ́ecroissante est convergente dans R. Et on a lim n→∞ xn = sup{xn n ∈ N} lim n→∞ yn = inf{yn n ∈ N} Preuve (T.D) Limite sup ́erieure et limite inf ́erieure. Soit X un ensembe non vide. Rappelons que si {An}n≥0 est une suite de parties de X, on ap- pelle plus grande limite de la suite {An}n≥0, l’ensemble limn→∞An des points de X qui appartiennent `a An pour une infinit ́e de n. De mˆeme, on appelle plus petite limite de la suite {An}n≥0, l’ensemble limn→∞An des points de X qui appartiennent `a tous les An `a par- tir d’un certain rang n. •limn→∞An = \ n [ k≥n Ak •limn→∞An = [ n \ k≥n Ak Dans le cas d’une suite monotone (la monotonie au sens de l’inclusion), les ensembles limn→∞An et limn→∞An sont ́egaux. Soit {xn}n≥0 une suite d’ ́el ́ements dans R, on pose An = {xn, xn+1, · · · } et Un = supn≥0An. 4