Tiêu đề Chương 2_Bài 1_Dãy số_Lời giải_Toán 11_CD.pdf ✅

1 CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN BÀI 1: DÃY SỐ A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. Khái niệm Ta có khái niệm sau: -Mỗi hàm số     * u : 1;2;3;;m   m được gọi là một dãy số hữu hạn. Do mỗi số nguyên dương k 1 k  m tương ứng với đúng một số k u nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: 1 2 3 , , , , m u u u  u . -Số 1 u gọi là số hạng đầu, số mu gọi là số hạng cuối của dãy số đó. Ta có khái niệm về dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số) như sau: -Mỗi hàm số * u :    được gọi là một dãy số vô hạn. Do mỗi số nguyên dương n tương ứng với đúng một số n u nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: 1 2 3 , , , , , n u u u  u  -Dãy số đó còn được viết tắt là un  . -Số 1 u gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), số 2 u gọi là số hạng thứ hai, ..., số n u gọi là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số đó. Chú ý: Dãy số không đổi là dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau. II. CÁCH CHỌN MỘT DÃY SỐ Ta có thể cho dãy số bằng một trong những cách sau: - Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng). - Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó. - Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó. - Cho bằng phương pháp truy hồi. III. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM - Dãy số un  được gọi là dãy số tăng nếu n 1 n u u   với mọi * n . - Dãy số un  được gọi là dãy số giảm nếu n 1 n u u   với mọi * n . Chú ý: Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hay dãy số giảm. Chẳng hạn, dãy số un  với ( 1) n n u   có dạng khai triển: 1,1,1,1,1, không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm. IV. DÃY SỐ BỊ CHẶN - Dãy số un  được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho n u  M với mọi * n . - Dãy số un  được gọi là bị chặn duới nếu tồn tại một số m sao cho n u  m với mọi * n . - Dãy số un  được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số m và M sao cho m n  u  M với mọi * n . B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1. Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát n u cho bởi công thức sau: a) 2 2 1 n u  n  b) ( 1) 2 1 n n u n   c) 2 n n u n  d) 1 1 n n u n         . Lời giải
2 a) Ta có: 5 số hạng đầu tiên của dãy un  là: 2 2 1 2 u  21 1  3;u  22 1  9 ; 2 2 2 3 4 5 u  2.3 1 19;u  2.4 1  33;u  2.5 1  51. b) Ta có 5 số hạng đầu của dãy ( 1) 2 1 n n u n   là: 1 3 5 1 3 5 2 4 2 4 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 1 ; ; 2 1 1 1 2.3 1 5 2.5 1 9 ( 1) 1 ( 1) 1 ; ; 2 2 1 3 2.4 1 7 u u u u u                            c) Ta có 5 số hàng đầu của dãy 2 n n u n  là: 1 3 5 1 3 5 2 4 2 4 2 2 2 2; 8; 32 1 1 1 2 2 4; 16; 1 1 u u u u u           . d) Ta có 5 số hạng đầu của dãy 1 1 n n u n         là: 1 3 5 1 3 5 2 4 2 4 1 1 64 1 7776 1 2; 1 ; 1 1 3 27 5 3125 1 9 1 625 1 ; 1 ; 2 4 4 256 u u u u u                                              Bài 2.a) Gọi n u là số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số un  . b) Gọi n v là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ n trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số vn  . Lời giải a)Số chấm ở hàng thứ nhất là: 1 u 1; Số chấm ở hàng thứ hai là: 2 u  2 ; Số chấm ở hàng thứ ba là: 3 u  3; Số chấm ở hàng thứ tư là: 4 u  4; Vậy số chấm ở hàng thứ n là: n u  n . b) Diện tích của các ô màu ở hàng thứ nhất là: v vi = 1 = 13; Diện tích của các ô màu ở hàng thứ hai là: 3 2 v  8  2 ;
3 Diện tích của các ô màu ở hàng thứ ba là: 3 3 v  27  3 ; Diện tích của các ô màu ở hàng thứ tư là: 3 4 v  64  4 ; Vậy diện tích của các ô màu ở hàng thứ n là: 3 n v  n . Bài 3. Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số un  , biết: a) 3 2 n n u n    b) 3 2 ! n n n u n   c) ( 1) 2 1 n n n u     Lời giải a) Ta có: 1 1 3 2 1 2 3 n n n u n n          Xét hiệu 1 2 3 3 2 n n n n u u n n               2 2 4 9 5 * 0, 3 2 3 2 n n n n n n n              . Suy ra n 1 n u u   Vì vậy dãy số đa cho là dãy số tăng. b) Ta có:       1 1 1 3 3 3 3 2 1 ! 2 1 2 ! 2 1 n n n n n n u u n n n n               Vìn *  nên   3 3 2 n 1 2   suy ra n 1 n u u   . Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm. c) Ta có:   1 1 1 ( 1) 2 1 n n n u        +) Nếu n chẵn thì 1 2.2 1 n n u     và 2 1 n n u   . Do đó n 1 n u u   . Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy giảm. +) Nếu n lẻ thì 1 2 2 1 n n u     và 2 1 n n u    . Do đó n 1 n u u   . Vì vậy với n chã̃n thì dãy số đã cho là dãy tăng. Do đó dãy không tăng không giảm Bài 4. Trong các dãy số un  được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn? a) 2 2 n u  n  b) 2 1 n u   n  c) 2 1 n u n n   . Lời giải a) Ta có: * n nên n 1 suy ra 2 n  2  3 Do đó 3 n u  Vậy dãy số (un) bị chặn dưới bởi 3. b) Ta có: * n nên n 1 suy ra 2 1 1 n u   n    Do đó 1 n u   . Vậy dãy số ( n u ) bị chặn trên bởi 1. c) Ta có:   2 1 1 1 1 1 1 n u n n n n n n       
4 Vì * n nên n 1 suy ra 1 1 1 1 0 1 1 n u n n n n        Ta lại có: 1 1 n  và 1 1 n 1 2     suy ra 1 1 1 1 1 1 2 2 n u n n       Do đó 1 0 2 n  u  Vậy dãy số n u bị chặn. Bài 5. Cho dãy số thực dương un  . Chứng minh rằng dãy số un  là dãy số tăng khi và chỉ khi 1 1 n n u u   với mọi * n Lời giải +) Nếu 1 1 n n u u   với mọi * n thì n 1 n u u   . Do đó dãy số un là dãy số tăng. +) Nếu un là dãy số tăng thì n 1 n u u   do đó 1 1 n n u u   . Bài 6. Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi Pn (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng. a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng. b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng. c) Dự đoán công thức của Pn tính theo n . Lời giải a) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là: 1P 100 100.0,5%  6 100,5  6 (triệu đồng). b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 2 tháng là: P2 100,5  6  100,5  60,5%  6  100,5  61 0,5%  6 100,51 0,5%  6.1 0,5%  6 (triệu đồng). Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là: P3  100,5  61 0,5%  6  100,5  61 0,5%  60,5%  6     2 2 100,5(1 0,5%)  6(1 0,5%)  6 1 0,5%  6 (triệu đồng). c) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 4 tháng là:         2 2 4 3 3 2 100,5 6 (1 0,5%) 6 1 0,5% 6 100,5 6 (1 0,5%) 6 (1 0,5%) 6]0,5% 6 100,5 (1 0,5%) 6 (1 0,5%) 6(1 0,5%) 6 1 0,5% 6 P                              Số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng là: 1 1 2 3 100,5 (1 0,5%) 6(1 0,5%) 6(1 0,5%) 6 (1 0,5%) 6 n n n n Pn                với mọi * n . C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Tìm số hạng của dãy số 1. Phương pháp Một dãy số có thể cho bằng: - Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng); - Công thức của số hạng tồng quát; - Phương pháp mô tả;