Tiêu đề Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Chuyên đề 4 - Hàm số mũ và lôgarit.doc ✅

Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 4 - HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT 1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Lũy thừa và căn thức: 1n na a   (với 0a và * nℕ ) m rmnn aaa (với 0a và * ,,m rnn nℤℕ ) limnraa (với 0,,narℝℚ và limnr ). Khi n lẻ, nnbaba (với mọi a) Khi n chẵn, 0 n n b ba ba     (với 0a ). - Biến đổi lũy thừa: Với các số 0,0,ab và  tùy ý, ta có: .;:;aaaaaaaa ..;::abababab - So sánh: Nếu 0ab thì: 0;0abab Lôgarit: - Lôgarit cơ số a: log abab ( 01a và 0b ) - Lôgarit cơ số 10: 10loglgbb hay logb - Lôgarit cơ số e: logln2,7183ebbe - Tính chất: log10 a và logb aab với 0,1aa . log ab ab với 0,0,1aba . - Biến đổi lôgarit trong điều kiện xác định: log.loglogaaabcbc 1 logloglog,loglog aaaaa b bcc cc     loglog aabb (với mọi  ), 1 loglogn aabb n ( * nℕ ) - Đổi cơ số trong điều kiện xác định: log log log a b a x x b hay log.loglog ababxx
Trang 2 1 log logb a a b hay 1 log.log1;loglog abaababb  Hàm số lũy thừa yx : Liên tục trên tập xác định của nó Đạo hàm 11',''xaxuuu ; //111'0,nnnnnnuxxu nxnu , với 0uux . Hàm số yx đồng biến trên 0; khi 0 ; nghịch biến trên 0; khi 0 . Hàm số mũ: Liên tục trên tập xác định ℝ , nhận mọi giá trị thuộc 0; . 101 lim;lim 00101 khi khi khi khi xx xx aa aa aa     Đạo hàm: 'ln;'xxxxaaaee ; ''ln;''uuuuaauaeeu với uux . Đồng biến trên ℝ nếu 1a , nghịch biến trên ℝ nếu 01a . Hàm số lôgarit log ayx : Liên tục trên tập xác định 0; , nhận mọi giá trị thuộc ℝ . 1 limlog 01 khi khi ax a x a     ; 0 1 limlog 01 khi khi ax a x a     Đạo hàm 111log';ln';ln' lnaxax xaxx '''log';ln';ln' lna uuu uuu uauu với uux . Hàm số log ayx đồng biến trên 0; nếu 1a , nghịch biến trên 0; nếu 01a . Giới hạn:  0 0 ln111 lim1;lim1;lim1 x x xx x xe e xxx      2. CÁC BÀI TOÁN Bài toán 4.1: Thực hiện phép tính  13 121 3512 20,750 33311 81;0,0012.6489 12532AB       
Trang 3 Hướng dẫn giải  13 335 35 4 411 3 52A         133111180 3583 52272727      1243263243331111102.221102217 1616B  . Bài toán 4.2: Đơn giản biểu thức trong điều kiện xác định: 1715 14 3333 4 311421 423333 1 ..1; 1 aaaaaaa PaQ a aaaaaa       Hướng dẫn giải     44 4 4 111 ..111 11 aaaa Paaa aaa         11 2233 11 33 11 112 11 aaaa Qaaa aaaa      Bài toán 4.3: Trục căn ở mẫu a) 3 1 23 b) 6 1 51348 Hướng dẫn giải a) 3333 33 3233294 132 12392     b) Vì 2251348523142332 nên 233 3 6 3131.423 11 231 3151348     Bài toán 4.4: Không dùng máy, tính giá trị đúng: a) 15661566 b) 33752752 Hướng dẫn giải a) Ta có 23223181212630126
Trang 4 nên 32233223 156615666 22   Cách khác: Đặt 15661566;0xx . Ta có 230222521636x nên chọn 6x . b) Ta có: 375213262212 Tương tự 375212 Do đó 33752752121222 Cách khác: Đặt 33752752x . Ta có: 33337527523752752.752752x  3310237527521023x . Ta có phương trình: 323102022225022xxxxxx Bài toán 4.5: Tính gọn a) 444920649206 b) 442522525225 Hướng dẫn giải a) Ta có 24444920625102424526 443232 Tương tự: 44920632 (do 32 ) Suy ra 44492064920623 b) Đặt 4425225,25225MN Ta có: 24254251MN 2444222425262551MNMNMN