Tiêu đề Đề Thi Chọn Đội Tuyển Tỉnh Bến Tre Dự Thi Học Sinh Giỏi Quốc Gia THPT 2018-2019 [Đáp Án].pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể phát đề) Câu 1 (5 điểm) Giả sử α, β là các nghiệm thực của phương trình 4 4 1 = 0 ( ∈ ) và [ ; ] là tập xác định của hàm số ( ) = . a) Đặt ( ) = ( ) ( ). Tìm ( ) theo t. b) Chứng minh rằng: Với , , ∈ 0; , nếu + + = 1 thì ( ) + ( ) + ( ) < √ . Câu 2 (5 điểm) Cho tam giác ABC có = 60 , > . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm hai đường cao BE và CF ( ∈ , ∈ ). Trên các cạnh BH, HF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho = . Tính giá trị của . Câu 3 (5 điểm) Dịp hè năm học 2017 – 2018, hiệu trưởng trường A tổ chức cho 3n (n là số nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mỗi ngày, hiệu trưởng phân công 3 học sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại. Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thấy rằng: với 2 học sinh bất kỳ có đúng một lần được phân công làm vệ sinh trong cùng một ngày. a) Khi = 3, hãy tìm số cách sắp xếp học sinh thỏa yêu cầu trên. Giải thích. b) Chứng minh rằng là số lẻ. Câu 4 (5 điểm) Xác định tất cả các hàm : → à : → thỏa mãn đồng thời các điều kiện: (1) Với mọi , ∈ : 2 ( ) ( ) = ( ) ; (2) Với mọi ∈ : ( ). ( ) ≥ + 1. HẾT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: TOÁN + Hướng dẫn chung: (nếu có) ..................................................................................................................... Câu Nội dung Điểm Ghi chú 1 Giải sử α, β là các nghiệm thực của phương trình 4 4 1 = 0 ( ∈ ) và [ ; ] là tập xác định của hàm số ( ) = . a) Đặt ( ) = ( ) ( ). Tìm ( ) theo t. b) Chứng minh rằng: Với , , ∈ 0; , nếu + + = 1 thì ( ) + ( ) + ( ) < √ . 5 1a) Đặt 1 2      x x khi đó 2 2 1 1 2 2 4 4 1 0,4 4 1 0 x tx x tx       Do đó: 2 2 1 1 1 2 4( ) 4 ( ) 2 0 x x t x x       1 2 1 2 1 2 ( ) 0 2 x x t x x     1 Vì 2 1 2 1 1 2   2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) 1 1 ( 1)( 1) x t x t x x t x x x x f x f x x x x x               Và 2 1 1 2 2 1 1 2 1 ( ) 2 2 ( ) 2 0 2 t x x x x t x x x x         vì vậy 2 1 f x f x ( ) ( ) 0   nên f x( ) là một hàm tăng trên  ;  1 Vì     t và 1 4    2 2 2 2 2 2 5 1( ) 8 1(2 5) 2 ( ) axf(x)-minf(x)=f( )-f( )= 25 16 25 16 t t t t g t m t t           1 1b) 2 2 2 8 2 16 ( 3) 24cosu cosu cos cosu (tan ) 16 16 9cos 9 cos i i i i i i i u g u u u       1 2 2 2 16.24 16 6 (tan ) ( 1,2,3) 16 9cos 16 9cos i i i g u i u u      Vì thế
3 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 (16 9 os ) (16.3 9.3 9 sin ) (tan ) 16 6 16 6 i i i i i i c u u    g u         Vì 3 1 sin 1 i i u    với (0; ), 1,2,3 2 i u i    ta có 3 3 2 2 1 1 3 sin ( sin ) 1 i i i i u u      Vì vậy 1 2 3 1 1 1 1 1 3 (75 9. ) 6 g u g u g u (tan ) (tan ) (tan ) 3 4 16 6      1 2 Cho tam giác ABC có = 60 , > . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm hai đường cao BE và CF ( ∈ , ∈ ). Trên các cạnh BH, HF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho = . Tính giá trị của . 5 Trên đoạn BE lấy điểm K sao cho: BK = CH Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên = 2 = 120 . Ta có = 180 = 120 nên = suy ra bốn điểm B, C, O, H cùng thuộc một đường tròn → = . 2 Xét 2 tam giác BOK và COH có OB = OC, BK = CH và = nên = suy ra = à = Ta có = = 120 , = = 30 2 Áp dụng định lý sin cho tam giác OKH, ta có = √3 Ta có = = = √3. 1 3 Dịp hè năm học 2017 – 2018, hiệu trưởng trường A tổ chức cho 3n (n là số nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mỗi ngày, hiệu trưởng phân công 3 học sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại. Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thấy rằng: với 2 học sinh bất kỳ có đúng một lần được phân công làm vệ sinh trong cùng một ngày. a) Khi = 3, hãy tìm số cách sắp xếp học sinh thỏa yêu cầu trên. Giải thích. b) Chứng minh rằng là số lẻ. 5
a) Khi = 3: có 9 học sinh mang số từ 1 đến 9. Số các sắp xếp học sinh làm vệ sinh thỏa yêu cầu là 12. Cụ thể là: (1,2,3), (1,4,5), (1,6,7), (1,8,9), (2,4,6), (2,7,8), (2,5,9), (3,4,8), (3,5,7), (3,6,9), (4,7,9), (5,6,8). 3 b) Ta lấy cố định một học sinh A. Vì học sinh A được phân công vệ sinh đúng một lần với mỗi học sinh khác và mỗi ngày có 3 học sinh làm vệ sinh nên 3 1 học sinh còn lại được chia thành từng cặp, ta có (3 1) 2 nên n là số lẻ 2 4 Xác định tất cả các hàm : → à : → thoả mãn đồng thời các điều kiện: (1) Với mọi , ∈ : 2 ( ) ( ) = ( ) ; (2) Với mọi ∈ : ( ). ( ) ≥ + 1. 5 Từ 1) thay x y  ta có 2f (x) g(x) f (x) x f (x) g(x) x x .          Như vậy giả thiết 1) trở thành : 2(g(x) x) g(x) (g(y) y) y g(x) 2x 2y g(y) x, y .             1.5 Thay y = 0 và đặt g(0) = b ta có g(x) 2x b,   do đó f (x) x b.   Thay biểu thức của f và g vào bất đẳng thức ở 2) ta được : 2 2 (x b)(2x b) x 1 x 2x (3b 1)x b 1 0 x.             (*) 1 Bất đẳng thức (*) được thoả mãn với mọi x khi và chỉ khi 2 2 2 2               (3b 1) 4.2(b 1) b 6b 9 0 (b 3) 0 b 3. Hiển nhiên các hàm f (x) x 3 ; g(x) 2x 3     thoả mãn điều kiện 2). 1 Ta chứng minh chúng cũng thoả mãn điều kiện 1) Thật vậy, ta có 2f (x) g(x) 2(x 3) (2x 3) 3       và f (y) y y 3 y 3.      Vậy 1) được thoả mãn 1 Kết luận : Tất cả các cặp hàm số f và g cần tìm là f (x) x 3 ;g(x) 2x 3.     0.5