Tiêu đề Chương 1_Bài 4_Phương trình lượng giác cơ bản_KNTT_Lời giải.pdf ✅

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG - Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. - Nếu phương trình f (x)  0 tương đương với phương trình g(x)  0 thì ta viết f (x)  0  g(x)  0 Chú ý. Để giải phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tưong đưong. Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho: a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức: f (x)  g(x)  f (x)  h(x)  g(x)  h(x). b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0: f (x)  g(x)  f (x)h(x)  g(x)h(x),(h(x)  0) 2. PHƯƠNG TRÌNH Sin x  m - Phương trình sin x  m có nghiệm khi và chỉ khi | m |1. - Khi | m |1, sẽ tồn tại duy nhất ; 2 2           thoả mãn sin  m. Khi đó 2 sin sin sin ( ). 2                     x k x m x k x k Chú ý a) Nếu số đo của góc  được cho bằng đơn vị độ thì 360 sin sin ( ). 180 360                      x k x k x k b) Một số trường hợp đặc biệt: sin x  0  x  k , k  . sin 1 2 , 2  x   x   k  k  . sin 1 2 , 2  x    x    k  k  . 3. PHƯƠNG TRÌNH cos x  m - Phương trình cos x  m có nghiệm khi và chỉ khi | m |1. - Khi | m |1, sẽ tồn tại duy nhất  [0; ] thoả mãn cos  m . Khi đó 2 cos cos cos ( ) 2                    x k x m x k x k
Chú ý a) Nếu số đo của góc  được cho bằng đơn vị độ thì 360 cos cos ( ). 360                     x k x k x k b) Một số trường hợp đặc biệt: cos 0 , 2  x   x   k k  . cos x 1 x  k2 , k  . cos x  1 x    k2 , k . 4. PHƯƠNG TRÌNH tan x  m - Phương trình tan x  m có nghiệm với mọi m . - Với mọi m , tồn tại duy nhất ; 2 2          thoả mân tan   m . Khi đó tan x  m  tan x  tan  x   k (k ). Chú ý. Nếu số đo của góc  được cho bằng đơn vị độ thì tan tan  180 ( ).    x   x   k k  5. PHƯƠNG TRÌNH cot x  m - Phương trình cot x  m có nghiệm với mọi m . - Với mọi m , tồn tại duy nhất  (0; ) thoả mãn cot  m . Khi đó cot x  m  cot x  cot  x   k (k ) . Chú ý. Nếu số đo góc  được cho bằng đơn vị độ thì cot cot  180 ( )    x   x   k k  6. SỬ DỤNG MTCT Giáo viên hướng dẫn trực tiếp ở lớp B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1.20. Giải các phương trình sau: a) 3 sin 2 x  ; b) 2cosx   2 ; c) 3tan 15 1 2  x         ; d) cot2 1 cot 5 x    . Lời giải
  2 3 3 a) sin sin sin 2 3 2 3 x k x x k x k                        2 3 2 2 3 x k k x k               Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là 2 , 3 x k k      và 2 2 , 3 x k k      . b) 2cosx   2 2 cos 2  x   3 cos cos 4 x      3 2 4 3 2 4 x k k x k                Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là 3 2 , 4 x k k      và 3 2 , 4 x k k       c) 3tan 15 1 2  x         1 tan 15 2 3  x          tan 15 tan30 2  x           15 30 180 , 2 x     k k       x  30  k360 , k     Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  30  k360 , k  Z   . d) cot2 1 cot 5 x    2 1 , 5 x k k        1 , 10 2 2 x k k        Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 1 , 10 2 2 x k k       . Bài 1.21. Giải các phương trình sau: a)sin2x  cos4x  0 ; b) cos3x  cos7x . Lời giải a) sin2x  cos4x  0 cos4x sin2x cos4x sin  2x cos4x cos  2  2 x                      4 2 2 2 4 cos4x cos 2 2 4 2 2 2 12 3 x x k x k x k k x x k x k                                                     Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là , 4 x k k      và , 12 3 x k k       .
        3 7 2 4 2 b) cos3x cos7x cos3x cos 7x 3 7 2 10 5 x k x x k k k x x k x k                                          . Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là , 4 2 x k k       và , 10 5 x k k       Bài 1.22. Một quả đạn pháo được bắn khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu 0 v  500 m /s hợp với phương ngang một góc  . Trong Vật lí, ta biết rằng, nếu bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất thì quỹ đạo của quả đạn tuân theo phương trình 2 2 2 0 tan 2 cos g y x x v      , ở đó 2 g  9,8 m /s là gia tốc trọng trường. a) Tính theo góc bắn  tầm xa mà quả đạn đạt tới (tức là khoảng cách từ vị trí bắn đến điểm quả đạn chạm đất). b) Tìm góc bắn  để quả đạn trúng mục tiêu cách vị tri đặt khẩu pháo 22000 m . c) Tìm góc bắn  đề quả đạn đạt độ cao lớn nhất. Lời giải Vì 2 0 v  500 m /s, g  9,8 m /s nên ta có phương trình quỹ đạo của quả đạn là 2 2 2 9,8 tan 2 500 cos y x x        hay 2 2 49 tan 2500000cos y x x      . a) Quả đạn chạm đất khi y  0 , khi đó 2 2 49 tan 0 2500000cos x x      2 49 tan 0 2500000cos x x             2 0 2500000cos tan 49 x x          0 2500000cos sin 49 x x          0 1250000sin2 49 x x        Loại x  0 (đạn pháo chưa được bắn). Vậy tầm xa mà quả đạn đạt tới là   1250000sin2 m 49 x   . b) Để quả đạn trúng mục tiêu cách vị trí đặt khẩu pháo 22000 m thì x  22000 m . Khi đó 1250000sin2 539 22000 sin2 49 625      Gọi ; 2 2           là góc thỏa mãn 539 sin 625   . Khi đó ta có: sin2  sin     2 2 2 2 2 2 2 k k k k k k                                       . c) Hàm số 2 2 49 tan 2500000cos y x x      là một hàm số bậc hai có đồ thị là một parabol có tọa độ đỉnh l x1 ; y1  là