Tiêu đề +SMP3 TD ANALYSE3 FSSM-MARRAKECH 18 19 20 21 22.pdf ✅

UNIVERSITE CADI AYYAD FACULTE DES SCIENCES SEMLALIA Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74 http://saborpcmath.com/  SUITES DE FONCTIONS, INTEGRALE GENERALISEES ET SERIES NUMERIQUES  FONCTIONS COMPLEXES  FONCTION COMPLEXE HOLOMORPHE  INTEGRALE COMPLEXE TDs ANALYSE 3 SMC 3 FSSM-MARRAKECH PAR WHATSAPP :06-26-45-09-23 TDs 2021-2022+ CORR & 2020-2021 & 2019-2020
UNIVERSITE CADI AYYAD FACULTE DES SCIENCES SEMLALIA  SUITES DE FONCTIONS, INTEGRALE GENERALISEES ET SERIES NUMERIQUES  FONCTIONS COMPLEXES  FONCTION COMPLEXE HOLOMORPHE  INTEGRALE COMPLEXE 2021 SUITES DE FONCTIONS SERIES NUMERIQUES SERIES DE FONCTIONS
Université Cadi-Ayyad S3 : Automne : 2021 Faculté des Sciences Semlalia Module Analyse III Département des Mathématiques Filière SMP Suites de Fonctions Partie .I. Série n ◦1 Exercice. 1.1 Etudier la convergence simple et uniforme des suites de fonctions (fn) (sur I) suivantes : fn(x) = (−1)nx n n , I = R; fn(x) = 2nx3 1 + nx2 , I = R, fn(x) = nx 1 + nx fn(x) = n αx(1 − x) n pour x ∈ D = [0, 1] et α ∈ R ............................................. Exercice. 1.2 Etudier la convergence uniforme les suites de fonctions (fn), (gn) et (fngn) sur l intervalle I = [0, +∞[ avec x ∈ [0, +∞[ fn(x) = x + 1 n et gn(x) = 1 n .......................... Exercice. 1.3 Soit (fn) la suite de fonctions dénies sur R par fn(x) = sin(nx) 1+n2x2 . 1) Etudier la convergence simple sur R de la suite de fonctions (fn). 2) Pour a > 0, étudier la convergence uniforme sur Ia = [a, +∞[ de la suite de fonctions (fn). 3) En déterminant limn→+∞ fn( π 2n ), étudier la convergence uniforme sur I0 = [0, +∞[ de la suite de fonctions (fn). ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗Exercices Facultatifs ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Exercice.Facult. 1.1 Soit la fonction fn dénie sur R,par fn(x) = q x 2 + 1 n2 . 1) Etudier la convergence Simple et uniforme de la suite de fonctions (fn) sur R. Notons par f sa limite simple 2) Que peut-on dire de la dérivabilité de chaque fonction fn et de sa limite simple f ? Exercice.Facult. 1.2 Déterminer lim n→+∞ Z 2 1 e −nx2 dx Exercice.Facult. 1.3 Soit, pour α > 0, la fonction fn dénie par fn(x) = n αxe−nx . 1) Etudier la convergence Simple de la suite de fonctions (fn) sur R. 2) Déterminer : un = Sup |fn(x)|, x ∈ I = R + = 3) Pour quelles valeurs de α, la suite de fonctions (fn) converge uniformément sur I = R +. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗
Université Cadi-Ayyad S3 : Automne : 2021 Faculté des Sciences Semlalia Module Analyse III Département des Mathématiques Filière SMP Partie .I. Suites de Fonctions Série n ◦1 Exercice. 1.1 Etudier la convergence simple et uniforme des suites de fonctions (fn) (sur I) suivantes : fn(x) = (−1)nx n n , I = R; fn(x) = 2nx3 1 + nx2 , I = R, fn(x) = nx 1 + nx fn(x) = n αx(1 − x) n pour x ∈ D = [0, 1] et α ∈ R En eet (*) Pour |x| ≤ 1, |fn(x)| ≤ 1 n → 0, alors la suite (fn) converge uniformement, donc Simplement, vers la fonction nulle sur l intervalle I = [−1, 1]. Pour |x| > 1, |fn(x)| = |x| n n → +∞ alors la suite (fn) ne converge pas simplement, donc ne converge pas uniformement, sur l intervalle ] − ∞, −1[ et sur ]1, +∞[. (*) Pour ∀x ∈ R, limn→+∞ fn(x) = 2x, donc la suite (fn) converge Simplement vers la fonction f sur l intervalle I = R avec f(x) = 2x. Posons θn(x) = |fn(x) − 2x| = |2x| 1+nx2 (qui est une fonction paire), Sup {|fn(x) − 2x|, x ∈ R} = Sup 2x 1 + nx2 , x ∈ R + = θn( 1 √ n ) → 0 alors la suite (fn) converge uniformement vers la fonction f sur l intervalle I = R avec f(x) = 2x. (*) (Remarquons que pour n ∈ N ∗ , Dfn = Dn = R \ −1 n ) Nous avons : lim n→+∞ fn(x) = f(x) = 0 pour x = 0 1 pour x 6= 0 Alors la suite (fn) converge Simplement, vers la fonction f sur l intervalle D = R \ −1 n , n ∈ N ∗ avec f(x) =    1, pour x 6= 0 0 x = 0 Les fonctions sont continues sur D et la fonction f ne l est pas donc la convergence de la suite (fn) n est pas uniforme. (*) Nous avons : fn(0) = fn(1) = 0 et pour. x ∈]0, 1[, lim n→+∞ fn(x) = lim n→+∞ n αxexp(nln(1 − x)) = 0 Alors la suite de fonctions (fn) converge simplement sur D = [0, 1] vers la fonction nulle f = 0. Remarque la fonction limite f = 0 est continue sur [0, 1], on ne peut Rien conclure sur la limite uniforme.
D'autre part : Sup {|fn(x) − f(x)| , x ∈ D} = fn( 1 1 + n ) = n α−1 ( n n + 1 ) n+1 (f 0 n (x) = n α(1 − x) n−1 [1 − (1 + n)x] = 0 pour xn = 1 1+n ∈ D) Et lim n→+∞ ( n n + 1 ) n+1 = lim n→+∞ e −(n+1)ln( n+1 n ) = e −1 Alors : lim n→+∞ Sup {|fn(x) − f(x)| , x ∈ D} =    0 pour α < 1 e −1 pour α = 1 +∞ pour α > 1 Finalement la suite (fn) converge uniformément sur D = [0, 1] vers la fonction nulle si et seule- ment si α < 1. Exercice. 1.2 Etudier la convergence uniforme les suites de fonctions (fn), (gn) et (fngn) sur l intervalle I = [0, +∞[ avec x ∈ [0, +∞[ fn(x) = x + 1 n et gn(x) = 1 n Pour x ∈ I = [0, +∞[, |fn(x) − x| = 1 n → 0 alors la suite (fn) converge uniformément sur I = [0, +∞[ vers la fonction f avec f(x) = x. Pour x ∈ I = [0, +∞[, |gn(x)| = 1 n → 0 alors la suite (gn) converge uniformément sur I = [0, +∞[ vers la fonction g avec g(x) = 0. La suite (fngn) converge simplement sur I = [0, +∞[ vers la fonction h telle que x ∈ [0, 1], h(x) = 0 car x ∈ I = [0, +∞[, lim n→+∞ fn(x)gn(x) = lim n→+∞ ( x n + 1 n2 ) = 0 On cherche un = Sup {|fn(x)gn(x) − h(x)|, x ∈ I = [0, +∞[} Pour cela, on pose ψn(x) = |fn(x)gn(x) − h(x)| = x n + 1 n2 qui est croissante sur I = [0, +∞[ donc un = Sup {|fn(x)gn(x) − h(x)|, x ∈ I = [0, +∞[} = lim x→+∞ x n + 1 n2 = +∞ Alors limn→+∞ un 6= 0, donc la suite (fngn) ne converge pas uniformément sur I = [0, +∞[. Exercice. 1.3 Soit (fn) la suite de fonctions dénies sur R par fn(x) = sin(nx) 1+n2x2 . 1) Etudier la convergence simple sur R de la suite de fonctions (fn). (*) Nous avons fn(0) = 0 et (*) Pour x 6= 0, nous avons |fn(x)| ≤ 1 1+n2x2 → 0. Alors la suite de fonctions (fn) converge simplement vers la fonction nulle f = 0 sur R. .................................................. 2) Pour a > 0, étudier la convergence uniforme sur Ia = [a, +∞[ de la suite de fonctions (fn). Pour x ∈ [a, +∞[, nous avons |fn(x)| ≤ 1 1+n2a2 → 0, alors la suite de fonctions (fn) converge uniformement vers la fonction nulle f = 0 sur Ia = [a, +∞[. .................................................