Tiêu đề TACH DE HSG 6 CHU DE 3 TINH CHAT CHIA HET TRONG TAP HOP STN PHAN 1.docx ✅

CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 1 CHỦ ĐỀ 3: TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN A. PHẦN NỘI DUNG I. Quan hệ chia hết và tính chất. Dạng 1: Chứng minh chia hết. Bài 1: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 . Chứng minh rằng: 2124p⋮ Trích đề HSG trường THCS Nghĩa Đồng (Tân Kỳ) năm 2021 - 2022 Lời giải Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3 . Ta có 2111ppppp do p là số lẻ nên 21pk ( *kN ) 2 1p(1)(1)pp2(22)kk4(1)kk8(1)⋮ Mặt khác 1;;1ppp là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 3 , mà p không chia hết cho 3 nên 1p hoặc 1p chia hết cho 3 . Từ đó suy ra 21p(1)(1)3(2)pp⋮ Vì 3,81 và từ 1 và 2 nên suy ra 2124p⋮ . Bài 2: Chứng minh rằng: Nếu 7437xy⋮ thì 131837xy⋮ . Trích đề HSG trường THCS Việt Tiến (Việt Yên) năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có: 51318474xyxy65902816xyxy 3774xy37(2)37xy⋮ Hay 5131847437xyxy⋮ (*) Vì 7437xy⋮ , mà 4;371 nên 47437xy⋮ Do đó, từ * suy ra: 5131837xy⋮ , mà 5;371 nên 131837xy⋮ . Bài 3: Cho 111 2.3.4.5.98.1 2398A    . Chứng tỏ rằng M chia hết cho 99. Trích đề HSG Trường THCS An Lễ năm 2021-2022 Lời giải 2.3.4.5.9.111 1.. 298. 38A    11111 2.3.4.5.98.1..... 982974445     999999 2.3.4.5.98...... 982.9744.45     111 2.3.4.5.98.99.....99 982.9744.45    ⋮ Vậy 99A⋮ . Bài 4:
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 1 a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 101p cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng 51p chia hết cho 6 . b) Chứng tỏ rằng nếu 61131,xyxy⋮ℕ thì 731xy⋮ . Trích đề HSG Trường THCS An Lễ năm 2021-2022 Lời giải a) p và 101p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 31;32kk Nếu 32pk thì 101p 10321k30213k⋮ (loại vì 101p là số nguyên tố) nên 31pk Có: 31pk suy ra 5153111563pkk⋮ Mà p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ nên 51p chẵn, suy ra 512p⋮ Mà 2;31 nên 512.3p⋮ hay 516p⋮ . Vậy 51p chia hết cho 6 . b) Vì 61131,xyxy⋮ℕ nên 6113131xyy⋮ hay 64231xy⋮ 6731xy⋮ nên 731xy⋮ Vậy nếu 61131,xyxy⋮ℕ thì 731xy⋮ . Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu 74:37xy thì 1318:37xy . Trích đề HSG Trường THCS Minh Đức năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có: 51318474xyxy65902816xyxy 3774xy37(2)37xy⋮ Hay 5(1318)4(74)37 *xyxy⋮ Vì 7437xy⋮ , mà (4;37)1 nên 4(74)37xy⋮ Do đó, từ * suy ra: 5(1318)37xy⋮ , mà (5;37)1 nên 131837xy⋮ . Bài 6: Cho số tự nhiên có 4 chữ số abcd . Chứng tỏ rằng abcd chia hết cho 7 khi: 23bcda chia hết cho 7 2 Trích đề HSG huyện Kỳ Anh năm 2021 – 2022 Lời giải abcd23bcda 10001001023abcdbcda
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 1 10001001023abcdbcda 10001002103aabbccdb 1001987abc Vì: +) 1001710017a⋮⋮ +) 987987a⋮⋮ +) 77c⋮ Nên: 10019877abc⋮ , Hay abcd237bcda⋮ Vì abcd237bcda⋮ nên abcd7⋮ khi 237bcda⋮ Bài 7: Chứng minh rằng: abba chia hết cho 11 . Trích đề HSG Liên trường năm 2021 - 2022 Lời giải Ta có: abba 10 10 11 11 11  11abbaabab⋮ Vậy abba 11⋮ Bài 8: Cho 234201720182222......22M a) Tính M b) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 3 Trích đề HSG THCS Trần Phú Gia Lai năm 2018-2019 Lời giải Ta có 234201820192222......22M Lấy 2019222MM . Vậy 201922M 2345620172018222222......22M 3520172122.122.(12).......2.12M 3520173.222......2M Vậy 3M⋮ Bài 9: Cho biết 4ab chia hết cho 13 ,.abℕ Chứng minh rằng 1013b⋮ Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018-2019 Lời giải Ta có: 413b⋮ suy ra 104013ab⋮ suy ra 103913abb⋮ Mà 3913b⋮ suy ra 1013ab⋮ Bài 10. Cho số 155*710*4*16 có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tùy ý thì số đó luôn chia hết cho 396 . Trích đề HSG cấp trường năm 2018-2019 Lời giải Ta nhận thấy, vị trí của các chữ só thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đôi một khác nhau, nên tổng của chúng bằng 1236 Mặt khác: 3964.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên cần chứng minh 155*710*4*16A chia hết cho 4, 9, 11 Thật vậy: Vì A tận cùng là 16 chia hết cho 4 nên 4A⋮ 9A⋮ vì tổng các chữ số chia hết cho 9 11A⋮ vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0 , chia hết cho 11 Vậy 396A⋮ Bài 11: Cho biết 4ab chia hết cho 13 ,.abℕ Chứng minh rằng 1013ab⋮ Trích đề HSG huyện Lâm Thao năm 2018 - 2019
CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC 2023 - 2024 TÁCH THEO CHỦ ĐỀ TỪ ĐỀ HSG 6 1 Lời giải Ta có: 413ab⋮ 104013ab⋮ 103913abb⋮ 3913Dob⋮ nên 1013ab⋮ Bài 12: Chứng minh 3532.327.225nnnnA⋮ với nℕ . Lời giải Ta có: 3532.327.2nnnnA 3.272.32.327.2nnnn 3.2722.327nn 3.252.2525nn⋮ . Bài 13: Cho 234199920002222.....22A . Chứng minh A chia hết cho 6 . Lời giải Ta có: 234199920002222.....22A 234199920002222.....22 3199962.12.....2.12 3199962.3.....2.36⋮ . Bài 14: Cho số 155*710*4*16 có 12 chữ số. Chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chữ số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tùy ý thì số đó luôn chia hết cho 396 . Trích đề HSG cấp trường năm 2017-2018 Lời giải Ta nhận thấy, vị trí của các chữ só thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đôi một khác nhau, nên tổng của chúng bằng 1236 . Mặt khác: 3964.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên cần chứng minh 155*710*4*16A chia hết cho 4;9;11 . Thật vậy: Vì A tận cùng là 16 chia hết cho 4 nên 4A⋮ 9A⋮ vì tổng các chữ số chia hết cho 9 11A⋮ vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0 , chia hết cho 11 . Vậy 396A⋮ . Bài 15: Cho biết 4ab chia hết cho 13 ,.abℕ Chứng minh rằng 1013b⋮ . Trích đề HSG huyện Tam Nông năm 2018-2019 Lời giải Ta có: 413ab⋮104013ab⋮103913abb⋮ Do 3913b⋮1013ab⋮ . Vậy 1013b⋮ . Bài 16: Thay * bằng các số thích hợp: a) 510*; 61*16 chia hết cho 3 b) 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 . Trích đề HSG cấp trường năm 2019-2020