Tiêu đề Chương 6_Bài 4_ _Lời giải_Toán 11_CD.pdf ✅

BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH MŨ, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. Phương trình mũ HĐ1: Trong bài toán ở phần mở đầu, giả sử r =1,14% / năm. a) Viết phương trình thể hiện dân số sau t năm gấp đôi dân số ban đầu. b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của luỹ thừa? Lời giải a) Có 2 S A = 0,0114. 0,0114. 2 2 ln2 0,0114. t t A A e e t =  = = = = b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là t, là số năm cần tìm để dân số gấp đôi dân số ban đầu. Nó nằm trong lũy thừa của số e , tức là 0,0114.t e , đây là dấu hiệu cho thấy phương trình là một phương trình mũ. Phương trình mũ là phương trình có chứa ẩn ở số mũ của luỹ thừa. Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mũ? a) 2 1 5 25 x + = b) 1 2 3 x x+ = c) 2 x = 4 Lời giải Ta thấy: Hai phương trình 2 1 5 25 x + = và 1 2 3 x x+ = là những phương trình mũ. LT1. Cho hai ví dụ về phương trình mũ. Lời giải Hai phương trình 2 1 3 1 x + = và 1 6 2 x x+ = là những phương trình mũ. HĐ2 a) Vẽ đồ thị hàm số 3 x y = và đường thẳng y = 7 . b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình 3 7 x = . Lời giải a)
b) Số giao điểm của hai đồ thị trên là : 1 =>Số nghiệm của phương trình 3 7 x = là : 1 Phương trình mũ cơ bản ẩn x có dạng ( 0, 1) x a b a a = . • Nếu b  0 thì phương trình vô nghiệm. • Nếu b  0 thì phương trình có nghiệm duy nhất loga x b = . Nhận xét: Với a a b    0, 1, 0 thì ( ) ( ) log f x a a b f x b =  = . Ví dụ 2. Giải mỗi phương trình sau: a) 2 3 4 5 x− = ; b) 1 10 2.10 8 x x + − = . Lời giải Ta có: a) 2 3 4 5 x− = 4 4 4 ( ) 1 2 3 log 5 2 3 log 5 3 log 5 2  − =  = +  = + x x x . Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 . b) 1 10 2.10 8 x x + − = 10.10 2.10 8 8.10 8 10 1 log1 0 x x x x  − =  =  =  =  = x x . Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 . Ví dụ 3. Giải phương trình: 2 3 1 4 2 x x − + = . Lời giải Ta có: 2 3 1 4 2 x x − + = 2 2 ( ) 3 1 2 2  = x− x+  − = + 2 2 3 1 ( x x )  − = +  = − 2 4 3 1 5 x x x . Chú ý: • Với a a   0, 1 thì ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x =  = . • Cách giải phương trình mũ như trên thường được gọi là phương pháp đưa về cùng cơ số Ví dụ 4. Giải phương trình đưa ra trong Hoạt động 1 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Lời giải
Gọi A là số dân ban đầu. Phương trình thể hiện số dân sau t năm gấp đôi số dân ban đầu là: 0,0114. 0,0114. ln 2 . 2 2 0,0114. ln 2 61 0,0114 t t Ae A e t t =  =  =  =  . Vậy sau 61 năm dân số sẽ gấp đôi số dân ban đầu. Lời giải a) 16 4 9 27 − + x x = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 16 3 3 2 3 4 4 16 x x x x x  = − + = = + = = − Vậy phương trình có nghiệm là x = 4 b) 2 4 16 0,25 2 x x − − + =  . ( ) ( ) ( ) 4 2 2 4 2 2 4 4 2 2 . 2 2 2 2 x x x x x − − − − + − + − +  =  =  = Vậy phương trình có nghiệm là x = 2 2. Phương trình lôgarit Chỉ số thay đổi pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH H log + = −     (trong đó H +     chỉ nồng độ ion hydrogen). Đo chỉ số pH của một số mẫu nước sông, ta có kết quả là pH = 6,1. a) Viết phương trình thể hiện nồng độ x của hydrogen H +     trong mẫu nước sông đó. b) Phương trình vừa tìm được có ẩn là gì và nằm ở vị trí nào của lôgarit? Lời giải a) với chỉ số pH = 6,1 ta có log 6,1 log pH H H + + = −     = −     Phương trình thể hiện nồng độ x của hydrogen H +     trong mẫu nước sông là: H x +   =   b)Phương trình vừa tìm được có ẩn H +     và nằm ở vị trí trong biểu thức dưới dấu lôgarit Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit.
Ví dụ 5. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình lôgarit? a) log 1 2 7 ( x + =) ; b) ( ) 2 2 log 1 3 x x + + = ; c) log 1 3 x ( x + =) . Lời giải Hai phương trình log 1 2 7 ( x + =) và ( ) 2 2 log 1 3 x x + + = là những phương trình lôgarit. Lời giải Phương trình logarit: log 3 7,log 6 9 5 3 ( x x + = + ) ( ) a) Vẽ đồ thị hàm số 4 y x = log và đường thẳng y = 5 . b) Nhận xét về số giao điểm của hai đồ thị trên. Từ đó, hãy nêu nhận xét về số nghiệm của phương trình 4 log 5 x = . Lời giải a) b) số giao điểm của hai đồ thị trên là 1. số nghiệm của phương trình 4 log 5 x = là 1 Phương trình lôgarit cơ bản có dạng log ( 0, 1). a x b a a =   Phương trình đó có một nghiệm là b x a = . Nhận xét: Với a a   0, 1 thì log ( ) ( ) b a f x b f x a =  = . Ví dụ 6. Giải mỗi phương trình sau: a) 2 log 5 x = ; b) log 5 4 2 4 ( x − =) . Lời giải a) Ta có: 2 log 5 x = 5  =  = x x 2 32.