Tiêu đề 060_Tuyển sinh 10_Toán Chuyên_mới_tỉnh_Tuyên Quang_25-26.docx.pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2025 – 2026 Môn thi: Toán chuyên ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) (Đề thi có 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) 1. Rút gọn biểu thức (2 3 1 13 4 3 ) . 29 12 5 2 5 A − + = + − 2. Cho xy, là các số thực dương thỏa mãn 2 . xy x y = + Chứng minh rằng: a) xy 1; b) ( ) 2 2 2 x y x y + + +  − + 1 1 8. Câu 2 (2,5 điểm) 1. Cho phương trình 2 x m x m − + + − = ( 1) 4 0 (1), với m là tham số. a) Giải phương trình (1) với m =1. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, thỏa mãn ( )( ) 2 2 1 1 2 2 x mx m x mx m − + − + = 2. 2. Giải hệ phương trình 2 2 3 2 8 12 . 2 12 0 x y x xy y  + =   + + = Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC ( AB AC  ) nội tiếp ( ). O Kẻ đường kính AD của ( ); O AD cắt BC ở E; đường cao AH của tam giác ABC cắt ( ) O ở F khác A. Gọi K là hình chiếu của D trên BC; FK cắt ( ) O ở I khác F. a) Chứng minh rằng FH DK = . b) Gọi J là giao điểm của AK và EI. Chứng minh rằng JE JI JA JK . . . = c) Tiếp tuyến tại A của ( ) O cắt BC ở S. Chứng minh rằng SD EI , và ( ) O cùng đi qua một điểm. Câu 4 (1,5 điểm) 1. Cho hai hộp đựng thẻ: hộp I gồm 5 thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4, 5; hộp II gồm 5 thẻ được đánh số 6, 7, 8, 9, 10 (các thẻ khác nhau được đánh số khác nhau). Rút ngẫu nhiên ở mỗi hộp một thẻ, tính xác suất để tích hai số trên các thẻ rút được là số chẵn. 2. Cho đa thức 2 f x ax bx c ( ) . = + + Mỗi lần thay đa thức này bởi một trong hai đa thức 2 cx bx a + + hoặc 2 ( ) (2 ) . a b c x a b x a + + + + + Nếu cho đa thức 2 f x x x ( ) 4 3 = + + thì sau một số lần thay đổi có được đa thức 2 g x x x ( ) 10 9 = + + không? Vì sao? Câu 5 (1,0 điểm). Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng: a) 4 3 1 p p A = − − chia hết cho 3 . p b) 4 3 1 p p A = − − chia hết cho 39 . p -----HẾT----- Ghi chú: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.................................................Số báo danh:.................
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT, NĂM HỌC 2025-2026 Môn: Toán chuyên (Hướng dẫn này có 04 trang) ---------- Câu 1 (2,0 điểm) 1. Rút gọn biểu thức (2 3 1 13 4 3 ) . 29 12 5 2 5 A − + = + − Hướng dẫn chấm Điểm Ta có: 13 4 3 12 4 3 1 2 3 1. + = + + = + 29 12 5 20 12 5 9 2 5 3. + = + + = + 0,5 (2 3 1 13 4 3 2 3 1 2 3 1 ) ( )( ) 12 1 11 . 2 5 3 2 5 3 3 29 12 5 2 5 A − + − + − = = = = + − + − 0,5 2. Cho xy, là các số thực dương thỏa mãn 2 . xy x y = + Chứng minh rằng: a) xy 1; b) ( ) 2 2 2 x y x y + + +  − + 1 1 8. Hướng dẫn chấm Điểm a) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 2 2 . xy x y xy = +  0,25 Vì x y, 0  nên xy xy    1 1. 0,25 b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y x y xy + + + + +  − +  + + +  − 2 2 1 1 ( ) 8 2 1 6 2 . 0,25 Nếu 6 2 0 −  xy thì bất đẳng thức đúng, ngược lại thì ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y xy x y xy x y xy + + +  −  + + −   + + −  1 3 6 8 0 4 8 0 ( )( ) 2  + −   − +  ( ) 2 0 1 2 0, xy xy xy xy luôn đúng vì xy 1. 0,25 Câu 2 (2,5 điểm) 1. Cho phương trình 2 x m x m − + + − = ( 1) 4 0 (1), với m là tham số. a) Giải phương trình (1) với m =1. b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, thỏa mãn ( )( ) 2 2 1 1 2 2 x mx m x mx m − + − + = 2. Hướng dẫn chấm Điểm
a) Với m =1 thì (1) trở thành ( ) 2 2 1 1 1 1 4 0 2 3 0 3 x x x x x x  = − − + + − =  − − =    = Vậy với m =1 thì phương trình có tập nghiệm S = − 1;3 .  0,5 b) (1) là phương trình bậc hai có 2 2 2  = − − − = − + = − +  ( 1) 4( 4) 6 17 ( 3) 8 0. m m m m m Suy ra (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 x x, với mọi m. 0,25 Ta có 2 2 2 x m x m x mx x m x mx m x − + + − =  − − + −  − + = + ( 1) 4 0 4 4. Do 1 2 x x, là nghiệm của (1) nên 2 1 1 1 2 2 2 2 4 . 4 x mx m x x mx m x  − + = +   − + = + 0,25 Thay lại yêu cầu bài toán ta được ( x x x x x x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 + + =  + + + =  + + + = 4 4 2 4 16 2 4 14 0 )( ) ( ) ( ) (2) 0,25 Theo định lí Viète ta có 1 2 x x m + = +1 và 1 2 x x m= −4. Thay vào (2) ta được 14 4 4( 1) 14 0 . 5 m m m − − + + + =  = Vậy 14 . 5 m − = 0,25 2. Giải hệ phương trình 2 2 3 2 8 12 . 2 12 0 x y x xy y  + =   + + = Hướng dẫn chấm Điểm Thế 2 2 12 8 = + x y vào phương trình thứ hai trong hệ ta thu được phương trình ( ) 3 2 3 2 2 2 x xy y x xy x y y + + =  + + + = 2 12 0 2 8 0 3 2 2 3  + + + = x x y xy y 2 8 0 (1). 0,25 Với y = 0 ta nhận thấy không thỏa hệ. Với y  0 ta biến đổi phương trình (1) ta có 3 2 2 8 0 x x x y y y             + + + =       Đặt x t y = ta được phương trình 3 2 2 t t t t t t + + + =  + − + = 2 8 0 ( 2)( 4) 0. 0,25
Nhận xét: 2 2 1 15 4 0 2 4 t t t   − + = − +      . Do đó t =−2 hay x y = −2 . 0,25 Thế x y = −2 vào phương trình thứ nhất trong hệ ta có 2 12 12 1. y y =  =  Với y =1 thì x =−2. Với y =−1 thì x = 2. Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm S = − − ( 2;1 ; 2; 1 . ) ( ) 0,25 Câu 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC ( AB AC  ) nội tiếp ( ). O Kẻ đường kính AD của ( ); O AD cắt BC ở E; đường cao AH của tam giác ABC cắt ( ) O ở F khác A. Gọi K là hình chiếu của D trên BC; FK cắt ( ) O ở I khác F. a) Chứng minh rằng FH DK = . b) Gọi J là giao điểm của AK và EI. Chứng minh rằng JE JI JA JK . . . = c) Tiếp tuyến tại A của ( ) O cắt BC ở S. Chứng minh rằng SD EI , và ( ) O cùng đi qua một điểm. Hướng dẫn chấm Điểm a) Ta có o AFD = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 0,5 Mặt khác FH HK ⊥ , DK HK ⊥ nên FHKD là hình chữ nhật. Suy ra FH DK = . 0,5 b) Từ ý a) ta có FD HK // , suy ra IKC IFD = (đồng vị) = IAD (góc nội tiếp)  IAE do đó IAEK nội tiếp. 0,5 Suy ra EAK EIK = hay EAJ KIJ = . Mặt khác AJE IJK = (đối đỉnh) nên hai tam giác EAJ và KIJ đồng dạng. Suy ra JA JE JI JK = hay JE JI JA JK . . . = 0,5 c) Gọi M là giao điểm của EI với ( ). O Vì SA là tiếp tuyến nên SA AD ⊥ suy ra SAKD nội tiếp, do đó 0,5