Tiêu đề CHƯƠNG II. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.doc ✅

CHƯƠNG II. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Muốn chứng minh một bất đẳng thức, ta phải dựa vào một bất đẳng thức đúng đã biết. Ghi nhớ: a 1. 220,0aa Dấu “=” xảy ra 0a . 2. aaa Dấu “=” xảy ra 0a . Có hai cách chứng minh bất đẳng thức: Cách 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức tương đương mà ta đã biết là đúng. Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức đã biết thành bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đây là một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Khi giải một bài toán chứng minh bất đẳng thức, cần phải căn cứ vào đặc thù của bài toán mà chọn phương pháp thích hợp. Mỗi bài toán có thể được giải bằng các phương pháp khác nhau, cũng có khi phải phối hợp nhiều phương pháp. PHƯƠNG PHÁP VẬN DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Để chứng minh bất đẳng thức AB , ta cần dùng định nghĩa hoặc tính chất của bất đẳng thức. Ta có thể phân chia phương pháp này cụ thể như sau: 1. Phương pháp dùng định nghĩa 2. Phương pháp biến đổi tương đương 3. Phương pháp làm trội 4. Phương pháp phản chứng 1. PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐỊNH NGHĨA A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Để chứng minh AB , ta cần chứng minh 0AB . B. BÀI TẬP Bài 1 (Lớp 8). Chứng minh rằng 2222abab Hướng dẫn giải Ta có 22222222222abababaabb 22220ababab Do đó 2222abab . Bài 2 (Lớp 9). Chứng minh rằng 2 ab ab  với mọi ,0ab . Hướng dẫn giải Ta có 22 0 222 ab ababab ab    Do đó 2 ab ab  . Bất đẳng thức xảy ra ab . Bài toán 2 là bất đẳng thức Cô-si (Cauchy (1789-1957) – Nhà toán học Pháp). Bài 3 (Lớp 8). Chứng minh rằng 2 22 2 4 a bcabacbc Hướng dẫn giải Ta có: 22222222 44 aa bcabacbcbcabacbc   
2222 4 a abacbcbc 222 2.0 222     aaa bcbcbc Do đó 2 22 2 4 a bcabacbc Bài 4 (Lớp 8). Chứng minh rằng: 22222abcdeabcde Hướng dẫn giải Ta có 22222abcdeabcde 22222 abcdeabacadae 2222 2222 4444 aaaa babcacdadeae    2222 0 2222 aaaa bcde    Bài 5 (Lớp 8). Chứng minh rằng: 22222axbyabxy . Hướng dẫn giải Ta có 22222abxyaxby 222222222222 2axaybxbyaxabxyby 2222220aybxabxyaybx Do đó 22222axbyabxy Dấu “=” xảy ra aybx Bài toán trên là bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki và còn được gọi là bất đẳng thức Cô-si-Svác. Bu-nhi-a-cốp-xki (1804-1889), Nhà toán học Nga. Svác (1843 – 1921), Nhà toán học Đức. Bài 6 (Lớp 8). Chứng minh rằng 4433ababab Hướng dẫn giải Ta có 44334433abababababab 3333aabbababab 22223 44 bb abaab    2223 0 24 bb aba      Do đó 4433ababab Bài 7 (Lớp *). Chứng minh rằng 222abcabbcca Hướng dẫn giải Ta có 222abcabbcca 2221222222 2abcabbcca 2222221222 2ababbcbccaca  22210 2abbcca 
Do đó 222abcabbcca Bài 8 (Lớp 8). Chứng minh rằng 22 22 abab baba (với a, b khác 0) Hướng dẫn giải Cách 1: Ta có 2222 2222 1 2222 2 abababab babababa     2222 2222 1 21212 2 aabbab bbaaba     222 1 110 2 abab baba       2222 222222abababab babababa     2 22ababab bababa     21221abbbababab baaabababa     222 22 3 24 0 bb aba ab        Do đó 22 22 abab baba Bài 9 (Lớp 8). Cho a, b khác 0. Chứng minh rằng 22 2243abab baba     Hướng dẫn giải Ta có 2222 222243223abababab babababa     22 23133abababab babababa     1131ababab bababa     113abab baba     2222 2 12.abababababab babaabab     222 22 3 24 0 bb aab ab        Do đó 22 2243abab baba     , (với ,0ab ) Bài 10 (Lớp 9). Cho 1,1ab . Chứng minh rằng
11abbaab Hướng dẫn giải Ta có 11122121 2ababbaababba 12121 2abababba   112111211 2abbbaa   22111110 2abba    Do đó 11abbaab . 2. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Để chứng minh AB , ta dùng các tính chất của bất đẳng thức, biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết là đúng. B. BÀI TẬP Bài 1 (Lớp 8). Chứng minh rằng: 22223abcabc Hướng dẫn giải 22223abcabc 222230abcabc 222222 3332220abcabcabacbc 222 2222220abcabacbc 2222222220ababacacbcbc 2220abacbc (1) (1) hiển nhiên đúng. Vậy 22223abcabc là bất đẳng thức đúng. Bài 2 (Lớp 8). Chứng minh rằng 23abcabbcca Hướng dẫn giải 23abcabbcca 22223abcabbccaabbcca 2220abcabbcca 222 2222220abcabbcca 2222222220ababbcbccaca 2220abbcca (2) (2) hiển nhiên đúng. Vậy 23abcabbcca là bất đẳng thức đúng. Bài 3 (Lớp 8). Cho ,0xy . Chứng minh rằng 114 xyxy  Hướng dẫn giải Vì ,0xy nên 0xyxy Do đó 211444xyxyxy xyxyxyxy    22400xyxyxy (bất đẳng thức đúng).