Tiêu đề Chuyên đề 4_Phương trình lượng giác cơ bản_Lời giải.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 4_PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Phương trình tương đương - Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. - Để chỉ sự tương đương của các phương trình, người ta dùng kí hiệu “  ”. 2. Phương trình sinx m= a) Nếu m 1 thì phương trình vô nghiệm. b) Nếu m 1 thì phương trình có nghiệm: x k k x k k = +  = − +       2 , và 2 , , với  là góc thuộc ; 2 2     −    sao cho sin = m. Chú ý: a) Một số trường hợp đặc biệt: sin 1 2 , ; 2 x x k k  =  = +   sin 1 2 , 2 sin 0 , x x k k x x k k    = −  = − +  =  =  b) sin sin 2 , u v u v k k =  = +   hoặc u v k k = − +   2 , . c) sin sin 360 , x a x a k k =  = +  hoặc x a k k = − +  180 360 , . 3. Phương trình cosx m= a) Nếu m 1 thì phương trình vô nghiệm. b) Nếu m 1 thì phương trình có nghiệm: x k k x k k = +  = − +      2 , và 2 , , với  là góc thuộc 0;  sao cho cos = m. Chú ý : Một số trường hợp đặc biệt: cos 1 2 , ; cos 1 2 , ; cos 0 , 2 x x k k x x k k x x k k      =  =  = −  = +  =  = +  b) cos cos 2 , u v u v k k =  = +   hoặc u v k k = − +  2 ,  . c) cos cos 360 , x a x a k k =  = +  hoặc x a k k = − +  360 , . 4. Phương trình tanx m= Với mọi số thực m , phương trình tan x m= có nghiệm x k k = +   , với  là góc thuộc ; 2 2       −  
sao cho tan  = m . Chú ý 0 : tan tan 180 , x a x a k k =  = +  . 5. Phương trình cotx m= Với mọi số thực m , phương trình cotx m= có nghiệm x k k = +   , với  là góc thuộc (0; ) sao cho cot = m . Chú ý: 0 0 cot cot 180 , x a x a k k =  = +  . B. BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40 Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số ( ) 3sin 80 12 ( ) 182 d t t    = − +     với t  và 0 365  t (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020) a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm? b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời? c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời? Lời giải a) Để thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3sin 80 12 12 182 sin 80 0 182 t 80 k k Z 182 t 80 182k k Z t 80 182k k Z . t t       − + =        − =      − =   − =   = +  Do t Z  và 0 365  t nên ta có: k k 0 80 182k 365 80 182k 285          +  −      k 40 285 k 0;1 k 91 182        −     Với k 0 = thì t = + = 80 182.0 80 ; Với k 1 = thì t 80 182 1 262 = +  = . Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm. b) Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3sin 80 12 9 sin 80 1 182 182 t 80 k2 k Z t 80 91 364k k Z t 11 364k k Z 182 2 Do t Z và 0 t 365 nên ta có k k 0 11 364k 365 11 364k 376 t t              − + =  − = −      − = − +   − = − +   = − +              − +     k 11 94 k 1 k 364 91      =      Với k 1 = thì t 11 364 1 353 = − +  = . Vậy thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm. c) Để thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3sin 80 12 15 182 sin 80 1 182 t 80 k2 k Z 182 2 t 80 91 364k k Z t 171 364k k Z Do t Z và 0 t 365 nên ta có: t t          − + =      − =      − = +   − = +   = +     k k 0 171 364k 365 171 364k 194          +  −    k 171 97 k 0 k 364 182      =  −     Với k 0 = thì t 171 364.0 171 = + = . Vậy thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 171 trong năm. Câu 2: Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 39). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h( m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t( s) (với t  0 ) bởi hệ thức h d = với 3cos 2 1 ( ) 3 d t    = −     , trong đó ta quy ước d  0 khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và d  0 trong trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Vào thời gian t nào thì khoảng cách h là 3 m;0 m ?
Lời giải Để khoảng cách h( m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 3 m thì: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3cos 2 1 3 3 3c os 2 1 3 cos 2 1 1 3 3 3c os 2 1 3 cos 2 1 1 3 3 t t t t t        − =            − = − =                         − = − − = −        ∣ ( ) ( ) 2 1 k2 3 2t 1 6k 2t 1 3 6k 2 1 k2 3 t t       − =   − =       − = + − = +  ( ) 1 2t 6k 1 t 3k 2 2t 6k 4 t 3k 2 k   = + = +       = +    = +  Do t k Z   0, nên k   0;1;2;  Khi đó   1 7 13 t ; ; ; 1 7 13 [ }t ;2; ;5; ;8; 2 2 2 2 2 2 t 2;5;8;                   . Vậy 1 7 13 ;2; ;5; ;8; 2 2 2 t         (giây) thì khoảng cách h là 3 m . Để khoảng cách h m( ) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 0 m thì: 3cos 2 1 0 3cos 2 1 0 ( ) ( ) 3 3 t t       − =  − =        