Tiêu đề °COURS INTEGRATION FSBM CASABLANCA 17 18 SMA5.pdf ✅

Universit ́e Hassan II de Casablanca Facult ́e des Sciences Ben M’sik D ́epartement de Math ́ematiques et Informatique Fili`ere SMA/Semestre 5 Module : Int ́egration Naceur ACHTAICH et Said BENKADDOUR Ann ́ee universitaire 2017-2018
2
Table des mati`eres 1 Rappels 5 1.1 Int ́egrale au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Fonctions int ́egrables au sens de Riemann . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 R ́esultats essentiels de l’int ́egrale de Riemann . . . . . . . . . . 8 1.2 El ́ements de la th ́eorie des cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 D ́enombrabilit ́e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Limite sup ́erieure et limite inf ́erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Int ́egrale de Lebesgue 13 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Ensembles mesurables. Mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Int ́egrale de fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Fonctions int ́egrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6 Calcul int ́egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.6.1 Int ́egrales d ́ependant d’un param`etre . . . . . . . . . . . . . . . 41 3
4 TABLE DES MATIERES ` 2.6.2 Int ́egrale de Lebesgue et de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6.3 Th ́eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6.4 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.7 Espaces L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.8.1 Solutions des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.9 Exercices non corrig ́es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97