Tiêu đề HH9-CHUYÊN ĐỀ 4. CHÙM BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐIỂM, ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC, TIẾP TUYẾN CÁT TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN(28Trang).pdf ✅

1 HH9-CHUYÊN ĐỀ 4. CHÙM BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐIỂM, ĐƯỜNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC, TIẾP TUYẾN CÁT TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN I. CHÙM BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG CAO VÀ ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp O có các đường cao AD BE CF , , cắt nhau tại H, các đường thẳng BH CH , kéo dài cắt O tại giao điểm thứ 2 là P Q R , , ( P khác B, Q khác C, R khác A). Gọi M I, lần lượt là trung điểm của BC AH , , đường thẳng EF cắt AH tại K. 1. Các tứ giác BFHD, CEHD, BFEC nội tiếp. Chứng minh: Do AD BE CF , , là các đường cao của tam giác ABC nên   0 HDB BFD   90   0    HDB BFD 180 suy ra tứ giác BFHD nội tiếp (tổng hai góc đối nhau bằng 0 180 ). Tương tự ta cũng có tứ giác CEHD nội tiếp. Ta có: BFC BEC    nên BFEC là tứ giác nội tiếp (Hai đỉnh liên tiếp F E, cùng nhìn cạnh BC một góc bằng nhau). 2. Các đường thẳng AD BE CF , , chứa các đường phân giác của góc EDF DEF EFD  , ,   từ đó suy ra trực tâm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. Chứng minh: Vì BFHD nội tiếp nên: FBH FDH    (cùng chắn FH  ) (1), CEHD nội tiếp nên HDE HCE    (cùng chắn EH  ) (2), tứ giác BFEC nội tiếp nên FBE FCE    (cùng chắn EF  ) (3). Từ (1), (2), (3) ta suy ra FDH EDH    hay AD là phân giác của góc EDF  . Chứng minh tương tự ta cũng
2 có BE CF , chứa các đường phân giác của góc DEF EFD  ,  từ đó suy ra trực tâm H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. 3. Dựng đường kính của O. Khi đó tứ giác BHCN là hình bình hành. Suy ra H M N , , thẳng hàng. H G O , , thẳng hàng và HO GO  3 . Chứng minh: Vì AN là đường kính của O nên NC AC  , do BH AC BH NC   // . Chứng minh tương tự ta cũng có CH NB // nên tứ giác BHCN là hình bình hành, suy ra 2 đường chéo NH BC , cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, mà M là trung điểm của BC nên N H M , , thẳng hàng. Ta có MO là đường trung bình của tam giác AHN nên 1 / / . 2 MO AH  Gọi G là giao điểm của AM và HO, do MO AH / / (cùng vuông góc với BC). Theo định lý Thales ta có: 1 2 AG MO G GM AH    là trọng tâm của tam giác ABC và H G O , , thẳng hàng. Do 1 3 . 2 GO OM HO GO GH AH     (Đường thẳng qua H G O , , gọi là đường thẳng Ơle của tam giác ABC). 4. Các đường thẳng AH BH CH , , kéo dài cắt O tại giao điểm thứ 2 là P Q R , , khi đó: P Q R , , là các điểm đối xứng với H qua BC CA AB , , . Chứng minh: Vì AN là đường kính của O nên  0 APN PN DM   90 / / . Lại có M là trung điểm HN (chứng minh ở 3). Suy ra DM là đường trung bình của tam giác HPN suy ra D là trung điểm của HP. Nói cách khác P là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh tương tự ta cũng có: Q R, là các điểm đối xứng với H lần lượt qua CA AB , . 5. OA EF  , tam giác ARQ cân. Chứng minh: Dựng tiếp tuyến Ax của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có Ax OA  (4). Ta cũng có xAC ABC    (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung). Mặt khác tứ giác BFEC nội tiếp nên  AEF ABC   từ đó suy ra xAC AEF    hay EF Ax // (5). Từ (4) và (5) suy ra EF OA  . Chú ý rằng EF là đường trung bình của tam giác HQR nên QR EF QR OA / /   suy ra OA vuông góc với QR tại trung điểm của QR nên tam giác AQR cân tại A. 6. Đường thẳng EF kéo dài cắt đường tròn O lần lượt tại 1 1 E F, ( E nằm giữa E1 và F). Khi đó: 1 1 AE AF , , lần lượt là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp các tam giác 1 1 CEE BFF , . Chứng minh: Theo chứng minh ở câu 5 ta có 1 1 EF QR E F QR / / / /  suy ra tam giác AF E1 1 cân tại A nên  AF E AE F 1 1 1 1  . Mặt khác  AE F AB E AF E ABF 1 1 1 1 1 1 1      . Suy ra AF1 là tiếp tuyến của đường tròn
3 ngoại tiếp tam giác 1 BFF. Chứng minh tương tự ta cũng có: AE1 là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 1 CEE . Chú ý rằng: Từ chứng minh trên ta cũng có các hệ thức đẹp: 2 1 AF AF AB AH AD   . . . 2 1 AE AE AC AH AD   . . . 7. Gọi X Y Z T , , , lần lượt là trung điểm của AB AC HC HB , , , . Khi đó 9 điểm D E F X Y M I Z T , , , , , , , , cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm của OH (gọi là đường tròn Ơle của tam giác ABC). Chứng minh: Ta có IZ là đường trung bình của tam giác 1 / / , 2 ABH IZ AB   YM là đường trung bình tam giác ABC nên 1 / / . 2 YM AB  Từ đó suy ra IZ YM IZMY / /   là hình bình hành. Lại có ZM là đường trung bình của tam giác BHC nên ZM CH / / mà AB CH  suy ra ZM IZ  vậy tứ giác IZMY là hình chữ nhật nên hai đường chéo IM ZY , cắt nhau tại trung điểm J của mỗi đường. Tương tự ta cũng chứng minh được các tứ giác XITM XYTZ , là các hình chữ nhật nên suy ra các đường chéo IM ZY TX , , đồng quy tại trung điểm J của mỗi đường. Chú ý rằng: IDM ZEY TFX , , lần lượt vuông tại D E F , , nên tâm vòng tròn ngoại tiếp chính là trung điểm J của các cạnh huyền tương ứng. Suy ra 9 điểm D E F X Y M I Z T , , , , , , , , cùng nằm trên đường tròn tâm J.