Tiêu đề 8. HÌNH HỌC.pdf ✅

CHƯƠNG 8. CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC Câu 1 . (Trường chuyên tỉnh An Giang) Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn, BH là đường cao kẻ từ B ( H AC  ) . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC, F là điểm đối xứng của điểm H qua DE. a. Chứng minh rằng tứ giác ABFH nội tiếp. b. Chứng minh FBA EFH  . c. Chứng minh rằng BF đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lời giải a) Xét AHB vuông cân tại H có D là trung điểm AB DA DB DH    (1). Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên DH DF  (2). Từ (1) và (2)     DA DH DB DF . Suy ra bốn điểm A, H, B, F cùng thuộc được tròn đường kính AB. Vậy tứ giác ABFH nội tiếp. b) Tứ giác ABFH nội tiếp (câu 6a)   FBA FHE (3). Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên EH EF  . Suy ra EHF cân tại E   FHE EFH (4). Từ (3), (4)   FBA EFH. c) Vì F là điểm đối xứng của điểm H qua DE nên   1 5 2 FDE HDF  Từ câu 6a, có A, H, B, F thuộc đường tròn tâm D đường kính AB nên   1 6 2 HAF HDF  . Từ (5), (6)    FDE HAF EAF. Suy ra tứ giác FDAE nội tiếp. (7) O F D E H A B C
Xét đường tròn (O) tâm O ngoại tiếp ABC có D là trung điểm dây AB 0   ODA 90 E là trung điểm dây AC 0   OEA 90 Xét tứ giác ODAE có: 0 ODA OEA   180 Nên tứ giác ODAE nội tiếp đường tròn đường kính AO. (8) Kết hợp (7), (8)  A D F O E , , , , cùng thuộc đường tròn đường kính AO. 0    AFO ADO 90 (cùng chắn cung AO). Mặt khác: 0 AFB  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) Suy ra: 0 AFO AFB   180 , nghĩa là B, F, O thẳng hàng. Vậy BF đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. Câu 2. (Trường chuyên tỉnh An Giang) Một nhà máy sản xuất ống thép khi xuất xưởng các ống thép được bó lại tạo thành khối gồm 37 ống như hình vẽ. Biết các ống có dạng hình trụ đường kính đáy bằng nhau và bằng 10 cm . Tính độ dài của một sơi dây đai để buột các ống thép lại với nhau Lời giải Đặt d r cm ,   lần lượt là đường kính và bán kính của các ống thép     d cm r d cm 10 ; / 2 5 . Ký hiệu các điểm như hình minh họa bên. Trong đó: A, B, M, N, H là các tiếp điểm giữa dây đai với các ống thép. D, C, E, F, O là tâm của một số ống thép. Giả sử các ống thép tiếp xúc khít nhau và dây đai buộc chính xác. Dễ thấy ABCD là hình chữ nhật.      AB CD d cm 3 3.10 30 1     Nên hiển hiên các điểm A, D, H, E thẳng hàng. Xét DEF có: HÌNH VẼ
    2 2 2 2 DE DH OD OH r r r cm        2 2 2 2 2 3 10 3 Tương tự cũng tính được DF cm 10 3   và EF cm 10 3 .   Như vậy DE EF DF cm    10 3   nên DEF là tam giác đều 0   EDF 60 . Suy ra 0 ADM EDF   60 (đối đỉnh). Chiều dài cung AM bằng     .5.60 5 2 180 3    cm Từ hình vẽ, kết hợp (1) và (2) ta tính được chiều dài dây đai là:   5 6. 6.30 180 10 . 3 l cm       Câu 3 . (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu) Cho đường tròn O R;  và điểm A sao cho OA R 2 . Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB AC , của (O) (B, C là hai tiếp điểm). Vẽ dây cung CD của (O) song song với AB. Đường thẳng AD cắt (O) tại E khác A và cắt BC tại G. Qua G vẽ đường thẳng vuông góc với OG lần lượt cắt hai đường thẳng AB, AC tại M và N. a) Chứng minh tam giác OMN cân b) Gọi I là trung điểm của DE, OA cắt BC tại K. Chứng minh: 2 IE IA IG   c) Tia BE cắt AC ở H . Chứng minh CE đi qua trung điểm của HG. Lời giải
a) Tứ giác OGMB nội tiếp đường tròn đường kính MO   OMG OBG. Tứ giác OGCN nội tiếp đường tròn đường kính NO   ONG OCG Tuy nhiên tam giác OBC cân tại O       OBC OCB OMG ONG OMN cân tại O. b) ta có: AKG AIO AKG AIO 90 ,         đồng dạng   AG AI AK AO . . . Mặt khác, dễ thấy: 2 AK AO AB .  và 2 AB AE AD AG AI AE AD       Khi đó: 2 2 2 2 AG AI AI IE AI IE AI IE IE AI AG AI IG IA             ( )( ) c) Gọi T là giao điểm của HG và CE . Ta có: BED BCD CBA ACB HEGC     là tứ giác nội tiếp.     HGC HEC CDB CBA. Đến đây ta chứng minh hai đường thẳng HG, AB song song với nhau . Kéo dài CE cắt AB tại F. Dễ thấy:         FAE EDC ECA FAE FCA , đồng dạng 2   FA FE FC . , mà 2 FB FE FC F   . là trung điểm của AB. Đến đây sử dụng định lý Ta-lét , thì : TG CT TH TG TH FB CF FA     hay T là trung điểm của GH. Câu 4 . (Trường chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu) Cho đường tròn (O) bán kính 1. Ba điểm phân biệt A, B, C thay đổi nằm trên đường tròn (O) sao cho điểm O nằm bên trong tam giác ABC . Các đường thẳng OA, OB, OC lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC, OCA, OAB tại M, N, P khác O. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 S OM ON OP    Lời giải