Tiêu đề Đề Thi Olympic Toán Trại Hè Hùng Vương 2009 [Đáp Án].pdf ✅

Trại hè Hùng Vương lần thứ V Olympic Toán Hùng Vương 2009 Đề thi Olympic Toán Hùng vương 2009 Câu 1. Chứng minh rằng từ 2009 số tự nhiên tùy ý đều có thể chọn được một hoặc một số số mà tổng của nó chia hết cho 2009. Câu 2. Tìm bộ ba số nguyên tố liên tiếp (liền kề) sao cho tổng bình phương của chúng cũng là một số nguyên tố. Câu 3. Trong 100 học sinh hệ chuyên có 29 em giỏi toán, 30 em giỏi văn, 42 em giỏi nhạc. Trong số đó có 8 em vừa giỏi toán, vừa giỏi văn, 10 em vừa giỏi nhạc vừa giỏi toán, 5 em vừa giỏi nhạc vừa giỏi văn, có ba em giỏi cả ba môn. Hỏi có bao nhiêu em chỉ giỏi toán, chỉ giỏi văn, chỉ giỏi nhạc và bao nhiêu em không giỏi môn nào? Câu 4. Cho f, g xác định và thỏa mãn hệ thức    f(x + 6) + 2g(2x + 15) = 1 2 (x + 2) f x + 2 2 + g(x + 5) = x + 4. Hãy xác định f(x) và g(x). Câu 5. Tìm tất cả các cặp số (x, y) thỏa mãn đẳng thức 2(x 2 + 1)(y 2 + 1) = (xy + 1)(x + 1)(y + 1). Câu 6. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2cm, M là một điểm di động trên mặt phẳng chứa hình vuông sao cho MA2 + MB2 = MC2 . Tính khoảng cách lớn nhất từ điểm M tới điểm D. Câu 7. Cho tam giác ABC không cân nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Tìm quỹ tích những điểm M trong tam giác ABC sao cho MA MA0 + MB MB0 + MC MC0 = 3, trong đó A0 , B0 , C0 lần lượt là giao của MA, MB, MC với đường tròn đã cho. Câu 8. Tổng của một số các số nguyên dương là 2009. Tìm giá trị lớn nhất của tích các số nguyên dương đã cho. Câu 9. Tìm tất cả các đa thức f(x) với hệ số là các số nguyên không âm nhỏ hơn 8 và thoả mãn điều kiện f(8) = 2009. ——————————————————————– 1
Trại hè Hùng Vương lần thứ V Olympic Toán Hùng Vương 2009 Đáp án Câu 1. Gọi 2009 số đã cho là a1; a2; a3; . . . ; a2009. Xét 2009 tổng sau: S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 . . . . . . S2009 = a1 + a2 + a3 + cdots + a2009 Nếu tồn tai một trong các tổng trên chia hết cho 2009 luôn thì ta có luôn điều phải chứng minh. Nếu trong các tổng trên không tồn tại tổng nào chia hết cho 2009. Ta xét đồng dư của các tổng trên khi chia cho 2009. Lúc này tâp số dư khi chia 2009 của tổng này là: S = {1; 2; 3; ...; 2008} . Theo nguyên lí Drichlet ta có ít nhất 2 trong số các tổng trên có cùng số dư khi chia cho 2009. Giả sử 2 tổng đó là Si và Sj . ⇒ |Si − Sj | . . .2009. Ta có điều phải chứng minh. Câu 2. Gọi 3 số nguyên tố liên tiếp là p, q, r với 2 ≤ p < q < s. Bộ ba số nguyên tố liên tiếp đầu tiên là 2,3,5 có 2 2 + 32 + 52 = 38 không là số nguyên tố nên không thỏa mãn. Bộ ba số nguyên tố liên tiếp tiếp theo là 3,5,7 có 3 2 + 52 + 72 = 83 là số nguyên tố nên là bộ ba thỏa mãn đề bài. Xét p > 3, thì hiển nhiên q, r > 3. Nhận xét rằng các số nguyên tố này đều có dạng ±1( mod 6) vì không chia hết cho 2 và 3. Vì thế nên tổng bình phương của chúng luôn chia hết cho 3, không phải là số nguyên tố. Vậy bộ ba số nguyên tố liên tiếp tiếp (3,5,7) là bộ ba số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài. Câu 3. Dùng sơ đồ Ven ta thu được: - Số em chỉ giỏi Toán là 14. - Số em chỉ giỏi Văn là 20. - Số em chỉ giỏi Nhạc là 30. - Số em không giỏi môn nào là 19. Câu 4. Ta có    f(x + 6) + 2g(2x + 15) = 1 2 (x + 2) (1) f( x + 2 2 ) + g(x + 5) = x + 4. (2) Trong (2) thay x bởi 2x + 10 ta có f(x + 6) + g(2x + 15) = 2x + 14. Từ đó ta có hệ    f(x + 6) + 2g(2x + 15) = 1 2 (x + 2) f(x + 6) + g(2x + 5) = 2x + 14. 2
Trại hè Hùng Vương lần thứ V Olympic Toán Hùng Vương 2009 Giải hệ này ta tìm được    f(x + 6) = 7x + 54 2 (x + 2) (3) g(2x + 15) = −3x − 26 2 . (4) Trong (3) thay x bởi x − 6 ta tìm được f(x) = 7x + 12 2 , trong (4) thay x bởi x − 15 2 ta tìm được g(x) = −3x − 7 4 . Câu 5. Theo bất đẳng thức Cauchy (Bunhiacopski), ta có 2(x 2 + 1) ≥ (x + 1)2 , 2(y 2 + 1) ≥ (y + 1)2 , (x 2 + 1)(y 2 + 1) ≥ (xy + 1)2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1. Suy ra [2(x 2 + 1)(y 2 + 1)]2 ≥ [(x + 1)(y + 1)(xy + 1)]2 , hay 2(x 2 + 1)(y 2 + 1) ≥ |(x + 1)(y + 1)(xy + 1)| ≥ (x + 1)(y + 1)(xy + 1). Vậy để có đẳng thức, ta phải có (x, y) = (1, 1). Câu 6. Không giảm tính tổng quát ta giả thiết hình vuông ABCD có các đỉnh A, B, C, D theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ. Lập hệ trục tọa độ Oxy có đỉnh O(0; 0), A(2; 0), C(0; 2), B(2; 2), gọi M(x; y). Theo giả thiết ta có MA2 + MB2 = MC2 ⇔(x − 2)2 + y 2 + (x − 2)2 + (y − 2)2 = x 2 + (y − 2)2 ⇔x 2 − 8x + 8 + y 2 = 0 ⇔(x − 4)2 + y 2 = 8. Phương trình (1) là phương trình của đường tròn có tâm I(4; 0) thuộc trục Ox bán kính R = 2√ 2. Suy ra khoảng cách lớn nhất từ M tới D là d = MI + R = 4 + 2√ 2. Câu 7. Ta có MA.MA = MB.MB = MC.MC = R2 − MO2 . Suy ra μ = MA MA + MB MB + MC MC = MA2 MA.MA + MB2 MB.MB + MC2 MC.MC = MA2 + MB2 + MC2 R2 − MO2 . Mà MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 = 3MG2 + OA2 + OB2 + OC2 − 3GO2 = 3MG2 + 3R 2 − 3GO2 . Do vậy μ = 3 và MG2 + MO2 = OG2 , tức quỹ tích M là đường tròn đường kính OM. 3
Trại hè Hùng Vương lần thứ V Olympic Toán Hùng Vương 2009 Câu 8. Ta có một số nhận xét sau: - Nhận xét 1: với x1, x2, . . . , xk là các số nguyên dương thì x1 + x2 + . . . + xk + 1 = x1 + x2 + . . . + (xk + 1) và x1.x2 . . . xk.1 < x1.x2 . . .(xk + 1). Do đó tích của các số nguyên có tổng bằng 2009 là lớn nhất khi các số nguyên đó lớn hơn hoặc bằng 2. - Nhận xét 2: với số n > 4, ta có 2(n − 2) > n, do đó trong các số phải tìm không thể có số lớn hơn 4, vì nếu có số n như thế thì ta tách thành hai số 2 và n − 2 thì tổng của chúng vẫn là 2009, trong khi tích của chúng lớn hơn, mâu thuẫn với điều kiện lớn nhất của tích. - Nhận xét 3: Do 2 3 < 3 2 , nên trong các số cần tìm không thể có nhiều hơn hai số 2, vì khi đó ta thay ba số 2 bởi hai số 3 để được một tích lớn hơn. - Nhận xét 4: Trong các số cần tìm không thể vừa có số 2 vừa có số 4, vì khi đó ta có thể thay số 2 và số 4 bởi hai số 3 để thu được một tích lớn hơn. Từ các nhận xét trên ta suy ra các số cần tìm sẽ gồm các chữ số 3 và một hoặc hai số 2 hoặc một số 4. Nhưng ta có 2009 = 669.3 + 2, do đó các số cần tìm có một số 2 và 669 số 3, khi đó tích của chúng đạt giá trị lớn nhất là 2.3 669 . Câu 9. Ta có MA.MA0 = MB.MB0 = MC.MC0 = R2MO2 . Suy ra MA MA0 + MB MB0 + MC MC0 = MA2 MA0 .MA + MB2 MB0 .MB + MC2 MC0 .MC MA2 + MB2 + MC2 R2 − MO2 mà Do vậy quỹ tích của M là đường tròn đường kính OM. Câu 10. Xét đa thức f(x) = a0x n+a1x n−1+· · ·+an, trong đó a0, a1, . . . , an là các số nguyên không âm và nhỏ hơn 8. Do f(8) = 2009 nên a08 n + a18 n−1 + · · · + an = 2009. Thực hiện phép chia 2009 cho 8 được dư a0 = 1. Lại lấy thương của phép chia này cho 8 ta được a1 = 3, liên tiếp thực hiện phép chia như thế ta được đa thức cần tìm là: f(x) = 3x 3 + 7x 2 + 3x + 1. 4