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MECANIQUE QUANTIQUE FSA-AGADIR 2019-2020 TD-SMP-1,2,3,4+ CORRIGES +EXAMENS https://sites.google.com/site/saborpcmath/ COURS DE SOUTIEN SMPC SMAI ENSAM ENSA FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire ملخص شامل للدروس + تمارين شاملة + تصحيح المتحانات PHYSIQUE : MATH : CHIMIE : INFORMATIQUE Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74 par whatsapp :06-02-49-49-25
1 UNIVERSITÉ IBN ZOHR Année universitaire 2019 - 2020 FACULTÉ DES SCIENCES AGADIR T.D. de Mécanique Quantique - SMP4 Série 1 Partie A - Caractère corpusculaire de la lumière I. Rayonnement du corps noir Le champ électromagnétique à l’intérieur d’une cavité fermée est équivalent à un ensemble dénombrable d’oscillateurs harmoniques linéaires et indépendants. L’énergie du champ est donc égale à l’énergie de ces oscillateurs. On définit la densité d’énergie u ( ,T ) comme : u(,T)  () E où  ( ) est le nombre des oscillateurs par unité de volume, E est l’énergie moyenne de chaque oscillateur, ν est la fréquence et T la température absolue. 1. Dans la théorie de l’électromagnétisme classique, l’énergie E d’un oscillateur varie de façon continue et on montre que le nombre d’oscillateurs dont l’énergie est comprise entre E et E dE est donnée par : dN P E dE a e kT dE E  ( )  où k est la constante de Boltzmann et P(E) la probabilité associée à l’énergie E . a. Sachant que 3 2 8 ( ) c     , établir l’expression de u ( ,T ) . b. On définit u (T) comme :    0 u(T) u(,T)d . Quelle est la signification de u (T) ? En donner l’expression et conclure. 2. Hypothèse de Planck (1900) : « les échanges d’énergie entre la matière du corps noir et le rayonnement électromagnétique se font par paquets d’énergie égale à   h (quantum d’énergie), h étant la constante de Planck ». L’énergie (continue) des oscillateurs s’écrit alors sous la forme suivante : En  nh , n N a. Montrer que : 1  kT h e h E   b. En déduire la nouvelle expression de u (T). Conclure. On donne : 1 1 1 0          si n n ; 1 15 4 0 3      dx e x x
2 II. Effet photoélectrique On éclaire la cathode d’une cellule photoélectrique avec deux radiations monochromatiques de longueurs d’ondes dans le vide 1  0,2537m et 2  0,5890m. Les énergies maximales des électrons éjectés par ces radiations sont respectivement E1  3,14 eV et E2  0,36 eV . Déduire une estimation expérimentale de : 1. La constante de Planck ; 2. L’énergie minimale d’extraction des électrons ; 3. La longueur d’onde maximale produisant un effet photoélectrique sur cette photocathode. III. Effet Compton L’effet Compton consiste en l’interaction d’un photon d’énergie h avec un électron libre (son énergie est purement cinétique) ou faiblement lié. L’électron, de masse m, est supposé initialement au repos. Après l’interaction, le photon d’énergie h' est émis dans la direction  alors que l’électron est émis dans la direction  . Ces angles sont comptés par rapport à la direction du photon incident. Au cours de l’interaction, le photon cède une partie de son énergie et de son impulsion à l’électron qui acquiert une quantité de mouvement p  et une énergie E telle que 2 2 2 2 4 E  p c  m c ; c étant la vitesse de la lumière dans le vide. En écrivant les lois de conservations, établir que : 1 (1 cos ) ' 2        mc h h h En déduire que :   '  (1 cos ) mc h Photon incident (  ) Photon diffusés (  ’)  p φ  p'  e p 
3 Partie B - Caractère ondulatoire de la matière IV. Ondes de matière - Diffraction sur un cristal On a réalisé des expériences de diffraction sur un cristal en utilisant divers types de particules : 1. Sachant que la distance interatomique d du cristal est de l’ordre de l’angström, quelle doit être la longueur d’onde des rayons X à utiliser ? Quelle est l’énergie des photons correspondant ? 2. On remplace le faisceau de rayons X par des neutrons. A la température T, leur énergie est donnée par E kBT 2 3  . Calculer la longueur d’onde λ de l’onde de matière associée aux neutrons (T = 300K). Pourrait-on observer une figure de diffraction ? 3. On utilise à présent des électrons accélérés sous une tension U. Quel doit être l’ordre de grandeur de U pour réaliser l’expérience ? Données : kB 1,38.10 j / K 23  ; h 6,62.10 j.s 34  ; mn Kg 27 1,67.10  ; me Kg 31 9.10  . V. L’atome d’hydrogène La fonction d’onde décrivant l’état fondamental de l’électron de l’atome d’hydrogène s’écrit, en coordonnées sphériques : a r r C e  ( )  où C est une constante réelle et positive et a est le rayon de l’orbite de Bohr : a m 10 0,53.10  1. Calculer la constante C. 2. Calculer la densité de probabilité de présence de l’électron et tracer son allure. 3. Calculer la probabilité de trouver l’électron entre les deux sphères de rayons r et r  d r . Pour quelle valeur de r, cette probabilité est-elle maximale ? VI. Paquet d’ondes gaussien (facultatif) Une particule libre de masse m, d'impulsion p  k et d'énergie E décrite par le paquet d'ondes (x,t) à une dimension : ψ x t g k e dk i( k x t ) ( ) 2 1 ( , )      1. Trouver la relation entre E et k. En déduire la relation de dispersion (k) . 2. On considère le paquet d’ondes à l’instant initial :  x,t  0  x. a. Montrer que g(k) n’est autre que la transformée de Fourier de  x. b. Etablir l’égalité de Parseval Plancherel :       x d x  g k d k 2 2  ( ) ( ) On suppose par la suite que la fonction g(k) est une gaussienne centrée en 0 k :