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CÁLCULO 1 – CE84 SEMANA 5– SP2 Temario: Reglas y Técnicas de integración. Logro de la sesión: Al finalizar la sesión, el estudiante calcula integrales de funciones aplicando propiedades de integral definida o técnicas de sustitución. REGLAS Y TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN Diferencial de una función: Si y = f(x) es una función derivable, entonces el diferencial dy está definida por: dy f x dx = '( ) Ejemplos: • 9 y x = entonces dy = • u sen x = entonces du = • 2 x v e = entonces dv = REGLA DE SUSTITUCIÓN PARA INTEGRAL INDEFINIDA Si g x '( ) es continua en un intervalo I y f es continua en el rango de u = g(x), x en I, entonces: Ejemplo: Halle: a. ( )3 4 3 4 2 x x dx +  b. Halle 3 sen cos θ θ θd  c. Halle 4 x x e dx e        + Ejercicios 4: Halle cada una de las siguientes integrales a) ( ) ( )6 2 5 2 1 1 12 x c x x dx + = + +  b) ( ) 2 2 l 9 9 2 n x c x dx x + = + +  c) ( )2 1 1 4 4 d c x x θ = − +  + + d) 2 6 5 t sec t 6 a n n a θ θ θd c θ = +  e) 5 5 s sec tan ec 5 θ θ θd c θ = +  f) tanθ θd = − + ln cosθ c  REGLA DE SUSTITUCIÓN PARA INTEGRAL DEFINIDA Si la función u g x = ( ) tiene una derivada continua en el intervalo cerrado [ ] a b, y f es continua sobre el rango de g, entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' b g b a g a f g x g x dx f u du =   f g x g x dx ( ) ( ) '( ) = 
CE84 Cálculo 1 2/7 EPE INGENIERÍA Ejemplo: Halle 1 2 0 2 4 x dx  x − Ejercicios 5: Halle el valor de cada una de las siguientes integrales a) 4 0 1 6 dx  x + b) 2 2 0 e x x dx  c) 6 0 cos 1 sen x dx x π +  √ IMPORTANTE: Por el uso común en los ejercicios de integrales es recomendable determinar algunas de ellas directamente INTEGRAL Ejemplo Ejemplo e kxdx =  , ! 6 e x dx =  4 e x dx − =  " sen k( ) x dx =  #$ % , ! sen 4( ) x dx =  #$ % sen 2 x dx     =    #$ cos k( ) x dx =  , ! cos 3( ) x dx =  4cos 4( ) x dx =  1 dx kx a =  + &' , ! 1 3 dx x =  + 1 5 3 dx x =  + & 2 2 1 dx x a =  + ('" ) ' * ' , ' + ! 2 1 9 dx x =  + ('" ) * 2 1 7 dx x =  + ('" ) √, * √, Ejercicio 6: Halle a) 5 3 e cos4 9 x x dx x     − +   + -. /.| | b) 2 3 2 3e 2sen2 25 x x x dx x     − +    + 1231. ) * c) 2 2 3 1 5 x dx x x x     − +   + + /. /. /. & APLICACIÓN DE LA INTEGRAL A LA FÍSICA La aceleración de una partícula a t( ) y la velocidad v t( ) de una partícula están relacionadas por: v t a t dt ( ) ( ) =  La posición de una partícula s t( ) y la velocidad v t( ) de una partícula están relacionadas por: s t v t dt ( ) ( ) = 
CE84 Cálculo 1 3/7 EPE INGENIERÍA Ejemplo: La aceleración de un cuerpo que se mueve en línea recta está dada por a t t ( ) 4 = − , en m/s2 y t en segundos. Halle las expresiones para la velocidad y la posición en función del tiempo, sabiendo que al comenzar su movimiento parte del origen con un velocidad de 2m/s. 4 ( (( 4 ( ( ( # Según las condiciones iniciales: 4 ! → 4 ( ( ( 6/ ( ( ( ( ( ( ( ( # Según las condiciones iniciales: ! ! → ( ( ( ( 6 Ejercicio 7: Para un cuerpo en movimiento rectilíneo, se determina que su velocidad es )( 4 3 2/3 tv = t + en m/s, donde t es el tiempo en segundos. Además, en el primer segundo el cuerpo se halla a 5 metros del origen. a. Halle el valor de v )4( y escriba el significado del resultado encontrado. 4 , lo que quiere decir que al cuarto segundo su velocidad es 35 m/s b. Halle la función que determina la posición del cuerpo para cualquier instante t . ( 8 9(/ ( : c. ¿La aceleración del cuerpo en el instante t = 4 será inferior a la aceleración del cuerpo en el instante t = 9? ' ( (/ 6 / CIERRE DE CLASE Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones a) 2 2 2 b a a b x dx − =  f b) ( ) 2 5 10 2 10 1 2 x x dx u du + = 1   f c) La sustitución más adecuada para hallar 3 2 x x e dx  es 3 x u e = f EJERCICIOS Y PROBLEMAS 1) Una partícula se mueve en línea recta con una aceleración de: )( 3 4 2 ta = t − t + . Expresada en ; < > =. Si además se sabe que: < 0 1 ; y y < 1 4;, determine la aceleración, velocidad de la partícula en cualquier instante de tiempo.
CE84 Cálculo 1 4/7 EPE INGENIERÍA ( 8 ( ( ( ( : 6 2) Desde una altura de 80 pies, se lanza una bola hacia arriba, con una velocidad inicial de 64 pies/s. Si s(t) describe la altura de la bola en función del tiempo t: a. ¿Qué significado tiene s’(0)? La velocidad inicial b. Halle la función posición que describe la altura s en función del tiempo t. Considere la aceleración de la gravedad a(t)= -32 pies/s2 . ( B( ( 9!C6 TEST (VERDADERO o FALSO) 1. ( ) cos6 sen 6 C 6 x x dx = +  D 2. 2 sec tan C xdx x = +  E 3. sec tan sec C x x dx x = +  E 4. 8 8 C 8 x x e e dx = +  E 5. ( ) 2 2 2 2 2 x x x x e e e e dx − − − + =  E 6. 3 3 2 C x x x e dx e = +  D 7. ( ) 5 1 5 6 C 6 dx x x − = + +  + D 8. 2 2 2 ln( 5) C 5 x dx x x = + +  + E 9. ( ) 1 2 1 tan C 25 5 x dx x − = +  + D 10. Si ( ) 2 2 1 1 ( ) ln 1 x f x dt t = +  entonces ( ) 2 2 '( ) ln 1 x f x x = + E 11. Si ( ) tan 2 1 ( ) 1 x f x t dt = +  entonces 4 f x x '( ) sec = E 12. ( ) 2 0 3 0 sen lim x x t dt x → +            es igual a 2 3 E 13. Una partícula se mueve en línea recta y su posición instantánea está dada por la función 3 2 s t t t t ( ) 12 36 = − + entonces su velocidad es 2 v t t t ( ) 3 24 = − E 14. Una partícula se mueve en línea recta y su posición instantánea está dada por la función 3 2 s t t t t ( ) 12 36 = − + entonces su velocidad es a t t ( ) 6 = INVESTIGACIÓN