Tiêu đề Bài 2_Cấp số cộng_Lời giải.pdf ✅

BÀI GIẢNG TOÁN 11 – CÁNH DIỀU– PHIÊN BẢN 25-26 1 BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG A. TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. ĐỊNH NGHĨA a) Nhận biết dãy vô hạn d - Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi . Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. - Cấp số cộng un  với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi u u d n n n = + 3 -1 , 2   Chú ý. Để chứng minh un  là một cấp số cộng, hãy chứng minh hiệu hai số hạng liên tiêp n n 1 u u - - không đổi. 2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Nếu cấp số cộng un  có số hạng đầu 1 u và công sai d thì số hạng tồng quát n u của nó được xác định theo công thức 1 ( 1) . n u u n d = + - 3. TỔNG CỦA n SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CẤP SỐ CỘNG Cho cấp số cộng un  với công sai d . Đặt n n 1 2 S u u u = + +1⁄4+ . Khi đó 1 2 ( 1) . 2 n n S u n d = + - é ù ë û Chú ý. Sử dụng công thức 1 ( 1) n u u n d = + - , ta có thể viết tổng n S dưới dạng  1  . 2 n n n u u S + = B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Nhận dạng 1 dãy số là cấp số cộng 1. Phương pháp Sử dụng định nghĩa un là một cấp số cộng khi và chỉ khi 1 , n n u u d + - = với d là một hằng số. Để chứng minh dãy số un là một cấp số cộng, ta xét n n 1 d u u + = - • Nếu d là hằng số thì un là một cấp số cộng với công sai d. • Nếu d phụ thuộc vào n thì un  không là cấp số cộng. 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1. Chứng minh các dãy số sau là cấp số cộng. a) Dãy số un  với 2020 2021. n u n = -

BÀI GIẢNG TOÁN 11 – CÁNH DIỀU– PHIÊN BẢN 25-26 3 Ta có: 1 8 1 5 5 40 7 u d u u d ìï = í 3⁄43⁄4® = ï = = + î Ví dụ 3: Cho cấp số cộng un  có 1 u = 123 và 3 15 u u - = 84 . Tìm số hạng 17 u . Lời giải Ta có công sai của cấp số cộng là 3 15 84 7 3 15 12 u u d - = = = - - - . Suy ra 17 1 u u d = + - = (17 1) 11. Ví dụ 4: Cho cấp số cộng un  có 1 u = 123 và 3 15 u u - = 84 . Tìm số hạng 17 u . Cho cấp số cộng un  có 1 5 u u + = 2 0 và 4 S = 14 . Tính số hạng đầu 1 u và công sai d của cấp số cộng. Lời giải Ta có 1 5 1 1 1 u u u u d u d + = Û + + = Û + = 2 0 2( 4 ) 0 3 8 0 . 1 4 1 4(2 3 ) 14 14 2 3 7 2 u d S u d + = Û = Û + = Ta có hệ phương trình 1 1 1 3 8 0 8 2 3 7 3 u d u u d d ìï ï + = ì = í í Û ï + = ïî = - î . Dạng 3. Tính tổng các số hạng trong một cấp số cộng 1. Phương pháp Tính tổng n số hạng đầu tiên nhờ công thức:   1   1 2 1 2 2 n n n u u n u n d S + é ù + - ë û = = 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho cấp số cộng un  có 1 u = 4 và d = -5. Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Lời giải   1 100 1 1 100.99 100 24350 2 2 n n n S nu d S u d - = + 3⁄43⁄4® = + = - Ví dụ 2: Xét các số nguyên dương chia hết cho 3. Tính tổng số 50 số nguyên dương đầu tiên Lời giải Số nguyên dương chia hết cho 3 có dạng   * 3n nÎ¥ nên chúng lập thành cấp số cộng   1 50 1 50 50 3 50 3 3825 150 2 n u u n S u u u ìï = = 3⁄43⁄4® 3⁄43⁄4® = + = í ï = î Chú ý:     1 1 1 . 2 2 n n n n n S u u nu d - = + = + Ví dụ 3: Tính tổng S n n = - + - + + + - - 1 2 3 4 5 ... 2 1 2   với n 3 1 và nÎ¥. Lời giải Với mọi * nÎ¥ thì 2 1 2 1 n n - - = -  .
BÀI GIẢNG TOÁN 11 – CÁNH DIỀU– PHIÊN BẢN 25-26 4 Ta có S n n = - + - + - + + - - 1 2 3 4 5 6 2 1 2      L    . Do đó ta xem S là tổng của n số hạng, mà mỗi số hạng đều bằng -1 nên S n = - . Nhận xét: Ta có 1;3;5; ;2 1 L n - và 2;4;6; ;2 L n là các cấp số cộng có n số hạng nên S n n = + + + + - - + + + + 1 3 5 2 1 2 4 6 2 L L          2 2 1 2 1 2 2 . 2 2 n n = + - - + = - + = - n n n n n n Ví dụ 4: Cho cấp số cộng un  thỏa mãn 2 8 9 15 u u u u + + + = 100. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho. Lời giải Ta có 2 8 9 15 1 1 u u u u u d u d + + + = Û + = Û + = 100 4 30 100 2 15 50. Khi đó 16 1 16 1     16 8 2 15 8.50 400 2 S u u u d = + = + = = Ví dụ 5: Cho cấp số cộng un  có công sai d = -3 và 2 2 2 2 3 4 u u u + + đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng 100 S của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Lời giải Đặt 1 a u = thì         2 2 2 2 2 3 4 u u u a d a d a d a a a + + = + + + + + = - + = - + 3 2 3 3 36 126 3 6 18 18 với mọi a . Dấu bằng xảy ra khi a a - = Û = 6 0 6 .Suy ra 1 u = 6 . Ta có 1   100 100. 2 100 1 14250 2 u d S é ù + - ë û = = - . Ví dụ 5. Biết 4 8 12 16 u u u u + + + = 224. Tính 19 S . Lời giải Ta có 4 8 12 16 u u u u + + + = 224 1 1 1 1 1 1 Û + + + + + + + = Û + = Û + = u d u d u d u d u d u d 3 7 11 15 224 4 36 224 9 56. Ta có 19 1 1     19 2 18 19 9 19.56 1064. 2 S u d u d = + = + = = Dạng 4: Giải phương trình ( tìm x trong cấp số cộng) 1. Phương pháp Ba số a b c , , (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi a c b + = 2 . Sử dụng các tính chất của cấp số cộng 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng Ví dụ 1: Cho các số -4;1;6; x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x. Lời giải Vì các số -4;1;6; x theo thứ tự 1 2 3 4 u u u u , , , lập thành cấp số cộng nên 4 3 3 2 u u u u x x - = - 3⁄43⁄4® - = - Û = 6 6 1 11