Tiêu đề Chương 7_Bài 24_ _Đề bài_Toán 11_KNTT.pdf ✅

BÀI 24: PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC HĐ1. Trên sân phẳng có một cây cột thẳng vuông góc với mặt sân. a) Dưới ánh sáng mặt trời, bóng của cây cột trên sân có thể được nhìn như là hình chiếu của cây cột qua phép chiếu song song nào không? b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân, liệu ta có thể quan sát được bóng của cây cột trên sân hay không? Lời giải a) Bóng của cây cột trên sân phẳng có thể được nhìn như là hình chiếu của cây cột qua phép chiếu vuông góc với mặt sân. Điều này có nghĩa là nếu ta kéo một tia sáng từ đỉnh cây cột theo hướng vuông góc với mặt sân, thì bóng của cây cột sẽ xuất hiện trên mặt sân tại điểm mà tia sáng đó chạm vào mặt sân. b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân, bóng của cây cột sẽ không xuất hiện trên mặt sân vì không có tia sáng nào có thể chiếu trực tiếp lên bề mặt sân để tạo ra bóng của cây cột. Tuy nhiên, nếu có các nguồn ánh sáng khác chiếu lên sân, chẳng hạn như đèn chiếu sáng ban đêm, thì bóng của cây cột sẽ xuất hiện trên mặt sân như mô tả ở câu a . Phép chiếu song song lên mặt phẳng theo phương vuông góc với được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng . Chú ý Vì phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có mọi tính chất của phép chiếu song song. Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng . Hình chiếu vuông góc  ' của hình  trên mặt phẳng còn được gọi là hình chiếu của  trên mặt phẳng . ? a) Nếu A là một điểm không thuộc mặt phẳng (P) và A' là hình chiếu của A trên (P) thì đường thẳng AA ' có quan hệ gì với mặt phẳng (P) ? b) Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì hình chiếu của a trên (P) là gì? HĐ2. Cho đường thẳng a và mặt phẳng không vuông góc với nhau. Xét là một đường thẳng nằm trong . Trên a , lấy hai điểm tuỳ ý. Gọi tương ứng là hình chiếu của trên mặt phẳng (H. 7.34). (P) Δ (P) (P) (P) (P) (P) (P) (P) b (P) M N, M N  , M N, (P)
a) Hình chiếu của a trên mặt phẳng (P) là đường thẳng nào? b) Nếu b vuông góc với MN thì b có vuông góc với a hay không? c) Nếu b vuông góc với a thì b có vuông góc với MN hay không? Lời giải a) Hình chiếu của đường thẳng a trên mặt phẳng (P) là một đường thẳng cắt (P) tạo thành một góc bằng với góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) . Điều này có nghĩa là ta có thể lấy hai điểm P và Q bất kỳ trên đường thẳng a , rồi vẽ các đường thẳng PM QN ', ' lần lượt là hình chiếu của P Q, trên (P). Đường thẳng PQ sẽ là hình chiếu của a trên (P). b) Nếu b M N ⊥  , thì b không nhất thiết phải vuông góc với a . Tuy nhiên, nếu ta vẽ đường thẳng PQ như đã mô tả ở câu a), thì b PQ ⊥ . c) Nếu b a ⊥ , thì b không nhất thiết phải vuông góc với M N' . Tuy nhiên, ta có thể chứng minh rằng b M N / /  bằng cách sử dụng tính chất của hình chiếu. Nếu b a ⊥ , thì b sẽ vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong mặt phẳng (P) mà song song với a . Do đó, ta có thể vẽ đường thẳng AB trong (P) song song với a , rồi vẽ đường thẳng A C AB  ⊥ tại C . Ta có M C AB ' / / , nên theo tính chất của hình chiếu, ta có M N AC ' ' / / . Vì vậy, nếu b a ⊥ thì b sẽ cắt M N' ' tại một điểm A nằm trên AC, và do đó b M N / / ' '. Định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a và mặt phẳng không vuông góc với nhau. Khi đó, một đường thẳng nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường thằng khi và chỉ khi vuông góc với hình chiếu vuông góc của a trên . Định lí ba đường vuông góc cho phép chuyển việc kiểm tra tính vuông góc giữa a và (có thể chéo nhau) sang kiểm tra tính vuông góc giữa và a ' (cùng thuộc mặt phẳng . Ví dụ 1. Trên một sân phẳng nằm ngang, tại các điểm A B C D , , , , người ta dựng các cột thẳng đứng AM BN , , CP DQ , và nối các sợi dây thẳng giữa M và P N, . và Q như Hình 7.35 . a) Hãy chỉ ra hình chiếu của các dây MP và NQ trên sân. b) Chứng minh rằng nếu BD AC ⊥ thì BD MP ⊥ . c) Chứng minh rằng nếu ABCD là một hình bình hành thì các trung điểm E F, tương ứng của các đoạn thẳng MP và có cùng hình chiếu trên sân. (P) b (P) a b a  (P) b b (P))
Lời giải a) Do các cột có phương thẳng đứng và sân thuộc mặt phẳng nằm ngang nên các cột vuông góc với sân. Vậy tương ứng là hình chiếu của trên sân. Do đó tương ứng là hình chiếu của trên sân. b) Nếu , mà là hình chiếu của trên sân và thuộc sân nên theo định lí ba đường vuông góc ta có . c) Nếu là một hình bình hành thì các đoạn thẳng có chung trung điểm . Do là đường trung bình của hình thang nên . Mặt khác, vuông góc với sân nên cũng vuông góc với sân. Vậy là hình chiếu của trên sân. Tương tự, cũng là hình chiếu của trên sân. Vậy và có cùng hình chiếu trên sân. Luyện tập 1. Cho hình chóp S ABC  có SA SB SC = = . Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABC) (H.7.36). a) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . b) Xác định hình chiếu của đường thẳng SA trên mặt phẳng ( ABC). c) Chứng minh rằng nếu AO BC ⊥ thì SA BC ⊥ . d) Xác định hình chiếu của các tam giác SBC SCA SAB , , trên mặt phẳng ( ABC). Lời giải a) Ta có SA SB SC = = (điều kiện của đề bài). Khi đó, OA OB OC , , đều là hình chiếu của S lên đường thẳng ( ABC) theo các đỉnh tương ứng A B C , , . Vì SA SB SC , = = ta có thể suy ra rằng OA OB OC , , đều nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC CA AB , , tương ứng. Khi đó, ta có OA OB OC , = = và O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC CA AB , , , nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy, ta đã chứng minh được rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. A B C D , , , M N P Q , , , AC BD , MP NQ , BD AC ⊥ AC MP BD BD MP ⊥ ABCD AC BD , O EO ACPM EO MA / / MA EO O E O F E F
b) Hình chiếu của đường thẳng SA trên mặt phẳng ( ABC) là đoạn thẳng AB , vì SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC) và AB là một cạnh của tam giác đều ABC. c) Nếu b a ⊥ thì b sẽ cắt M N' ' tại một điểm D nằm trên AC , và do đó b M N / / .   d) Gọi M N P , , lần lượt là hình chiếu vuông góc của S lên BC CA AB , , . Do SA vuông góc với OM và SA song song với đường thẳng d nên d cũng vuông góc với OM . Khi đó, hình chiếu của tam giác SBC lên mặt phẳng (ABC) là tam giác có đỉnh M và đường cao là đường thẳng d . Tương tự, ta có thể tìm hình chiếu của tam giác SCA lên (ABC) là tam giác có đỉnh N và đường cao là đường thẳng e đi qua N và song song với SB , cũng như tìm hình chiếu của tam giác SAB lên (ABC) là tam giác có đỉnh B và đường cao là đường thẳng f đi qua P và song song với SC. 2. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG HĐ3. Một máy bay giữ vận tốc không đổi, với độ lớn trong suốt 2 phút đầu kể từ khi cất cánh. Hỏi thông tin trên có đủ để ta xác định độ cao của máy bay so với mặt đất phẳng. tại thời điểm 1 phút kể từ khi máy bay cất cánh không? Lời giải Độ cao của máy bay bằng cách sử dụng công thức sau: độ cao = vận tốc x thời gian bay. Ta có vận tốc của máy bay là 240 km/h = 66,67 m/s 1 phút hoặc 60 giây. Do đó, ta có thể tính được độ cao của máy bay như sau: độ cao = 66.67 m/s x 60 giây = 4000 mét Tại thời điểm 1 phút kể từ khi máy bay cất cánh là 4000 mét. Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng . Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa a và hình chiếu a ' của nó trên được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng . 240 km / h (P) 90 (P) (P) (P)