Tiêu đề 024d_Tuyển sinh 10_Toán Chuyên_mới_tỉnh_Hà Nội_DHSP_vòng 2_25-26.pdf ✅

LỜI GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM HỌC 2025 - 2026 Kì thi tuyển sinh vào 10 thành phố Hà Nội Môn thi: Toán (vòng 2) Nguyễn Nhất Huy - Hà Mạnh Hùng - Đỗ Xuân Trọng Trần Nguyễn Đức Nhật - Lê Thanh Lâm - Hoàng Lê Nhật Tùng Phan Anh Quân - Trịnh Huy Vũ - Nguyễn Đăng Khoa 1. PHẦN ĐỀ THI Câu 1. 1. Giải bơi của một trường Trung học cơ sở ban đầu chỉ có học sinh khối 6,7 và 8 đăng kí tham gia với số liệu học sinh được cho như trong biểu đồ cột kép ở hình bên. Ngay trước khi giải đấu diễn ra, có thêm 6 học sinh nam khối 9 và một số học sinh nữ khối 9 đăng kí bổ sung. Biết rằng tỉ lệ học sinh nữ so với tổng số học sinh đăng kí tham gia giải trước và sau khi các học sinh khối 9 đăng kí bổ sung là không thay đổi. Tìm số học sinh nữ khối 9 đã đăng kí thi đấu. 2) Cho a, b, c là các số thực khác 0 , thỏa mãn a + b + c ≠ 0 và ab + bc + ca = 0. Tính giá trị của biểu thức P = 1 a2−bc + 1 b 2−ca + 1 c 2−ab . Câu 2. 1. Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn 3a 2 − bc, 3b 2 − ca, 3c 2 − ab đều chia hết cho 4 . Chứng minh abc chia hết cho 8 . 2. Tìm tất cả cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 2(2x − y)(y − x) 2 = 15x − 7y + 7 Câu 3. Với các số thực a, b, c thỏa mãn a 2b + b 2 c + c 2a + 16 = ab 2 + bc 2 + ca 2 : 1. Với các số thực a, b, c thỏa mãn a 2b + b 2 c + c 2a + 16 = ab 2 + bc 2 + ca 2 . a) Chứng minh (a − b)(b − c)(c − a) = 16. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 2 + b 2 + c 2 . 2. Tìm các số hữu tỉ dương m, n sao cho m + n + mn, 1 m + 1 n + 1 mn và m n đều là các số nguyên.
Câu 4. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao AD, CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Tia MH cắt đường tròn (O) tại điểm T. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O). 1. Chứng minh ba điểm T, H,K thẳng hàng. 2. Đường thẳng qua B và vuông góc với đường thẳng AM tại điểm E, cắt đường thẳng AD tại điểm G. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MDG cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC tại hai điểm D và N. Chứng minh đường thẳng NE song song với đường thẳng BF. 3. Kẻ dây cung AX của đường tròn (O) sao cho đường thẳng AX song song với đường thẳng BC. Chứng minh ba đường thẳng MX, TD và AN dồng quy. Câu 5. Hai trường trung học cơ sở A và B tổ chức chung một buổi liên hoan cho các học sinh tiêu biểu. Biết rằng trong buổi liên hoan này: (i) Mỗi học sinh trường A quen với đúng 5 học sinh khác cũng của trường A; (ii) Mỗi học sinh trường A quen với đúng 4 học sinh trường B; (iii) Mỗi học sinh trường B quen với đúng 3 học sinh trường A; (iv) Tổng số học sinh của hai trường tham dự không vượt quá 80 . 1. Số học sinh trường A tham dự buổi liên hoan có thể là 25 học sinh được không? Vì sao? 2. Tổng số học sinh của hai trường tham dự buổi liên hoan có thể nhiều nhất là bao nhiêu? Vì sao? 2. PHẦN LỜI GIẢI Câu 1 1. Giải bơi của một trường Trung học cơ sở ban đầu chỉ có học sinh khối 6, 7 và 8 đăng kí tham gia với số liệu học sinh được cho như trong biểu đồ cột kép ở hình bên. Ngay trước khi giải đấu diễn ra, có thêm 6 học sinh nam khối 9 và một số học sinh nữ khối 9 đăng kí bổ sung. Biết rằng tỉ lệ học sinh nữ so với tổng số học sinh đăng kí tham gia giải trước và sau khi các học sinh khối 9 đăng kí bổ sung là không thay đổi. Tìm số học sinh nữ khối 9 đã đăng kí thi đấu. 2) Cho a, b, c là các số thực khác 0 , thỏa mãn a + b + c ≠ 0 và ab + bc + ca = 0. Tính giá trị của biểu thức P = 1 a2−bc + 1 b 2−ca + 1 c 2−ab .
Lời giải. 1. Gọi số học sinh nữ khối 9 đã đăng kí thi đấu là x ( x là số nguyên dương). Số học sinh nữ khối 6,7,8 đăng kí thi đấu là 8 + 7 + 5 = 20 (học sinh). Tổng số học sinh khối 6,7,8 đăng kí thi đấu là 8 + 12 + 7 + 10 + 5 + 8 = 50 (học sinh). Sau khi các học sinh khối 9 đăng kí bổ sung thì số lượng học sinh nữ đăng kí thi đấu là 20 + x (học sinh) và tổng số học sinh tham gia thi đấu là 50 + 6 + x = 56 + x (học sinh). Vì tỉ lệ học sinh nữ so với tổng số học sinh đăng kí tham gia giải trước và sau khi các học sinh khối 9 đăng kí bổ sung là không thay đổi nên 20 50 = 20+x 56+x . Từ đây tìm được x = 4. Vậy số học sinh nữ khối 9 đã đăng kí thi đấu là 4 học sinh. 2. Vì ab + bc + ca = 0 nên a 2 − bc = a 2 + ab + ac = a(a + b + c). Tương tự b 2 − ca = b(a + b + c), c 2 − ab = c(a + b + c). Khi đó P = 1 a(a + b + c) + 1 b(a + b + c) + 1 c(a + b + c) = ab + bc + ca abc(a + b + c) = 0 Câu 2 1. Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn 3a 2 − bc, 3b 2 − ca, 3c 2 − ab đều chia hết cho 4. Chứng minh abc chia hết cho 8. 2. Tìm tất cả cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 2(2x − y)(y − x) 2 = 15x − 7y + 7 Lời giải. 1. Giả sử a, b, c lẻ. Khi đó a 2 ≡ 1(mod4) nên: 0 ≡ 3a 2 − bc ≡ 3 − bc (mod4) suy ra bc ≡ 3(mod4). Chứng minh tương tự, ta có ab ≡ bc ≡ ca ≡ 3(mod4), dẫn đến (abc) 2 ≡ 3 (mod4), điều này không thể xảy ra. Do đó trong a, b, c có ít nhất một số chẵn. Không mất tính tổng quát giả sử a chẵn, khi đó 0 ≡ 3a 2 − bc ≡ −bc (mod4) dẫn đến 4 ∣ bc, mà 2 ∣ a nên 8 ∣ abc. 2. Đặt a = 2x − y, b = y − x. Khi đó 15x − 7y = 8a + b. Phương trình đã cho trở thành: 2ab 2 = 8a + b + 7 2a(b 2 − 4) = b + 7 Nếu b 2 − 4 = 0 thì b ∈ {2, −2}, khi đó 2a(b 2 − 4) = 0 nhưng b + 7 ≠ 0, mâu thuẫn. Do đó b 2 − 4 ≠ 0, suy ra b 2 − 4 ∣ b + 7 Do đó
b 2 − 4 ∣ ((b + 7)(b − 7) − (b 2 − 4)) = −45 Mà b 2 − 4 ≥ −4 nên: b 2 − 4 ∈ {−3, −1,1,3,5,9,15,45} suy ra b 2 ∈ {1,3,5,7,9,13,19,49}. Mà b 2 là số chính phương nên b 2 ∈ {1,9,49}, tức là b ∈ {−7, −3, −1,1,3,7} Mặt khác, ta có a = b+7 2(b 2−4) là số nguyên, thử trực tiếp ta tìm được (a, b) ∈ {(0, −7), (−1, −1), (1,3)} Để ý rằng x = a + b, y = a + 2b. Ta xét các trường hợp: • Nếu a = 0, b = −7 thì x = −7, y = −14, thỏa mãn. • Nếu a = −1, b = −1 thì x = −2, y = −3, thỏa mãn. • Nếu a = 1, b = 3 thì x = 4, y = 7, thỏa mãn. Vậy các cặp số nguyên (x, y) cần tìm là (−7, −14), (−2, −3), (4,7). Câu 3 Với các số thực a, b, c thỏa mãn a 2b + b 2 c + c 2a + 16 = ab 2 + bc 2 + ca 2 : 1. Với các số thực a, b, c thỏa mãn a 2b + b 2 c + c 2a + 16 = ab 2 + bc 2 + ca 2 . a) Chứng minh (a − b)(b − c)(c − a) = 16. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a 2 + b 2 + c 2 . 2. Tìm các số hữu tỉ dương m, n sao cho m + n + mn, 1 m + 1 n + 1 mn và m n đều là các số nguyên. Lời giải. 1. a) Chuyển vế ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a b ab b c bc c a ca − + − + − = −16 ab a b bc b c ca c a ( − + − + − = − ) ( ) ( ) 16 ab a b bc b c ca c b b a ( − + − + − + − = − ) ( ) ( ) 16 ab a b bc b c ca b c ca a b ( − + − − − − − = − ) ( ) ( ) ( ) 16 (ab a b ca a b bc b c ca b c ( − − − + − − − = − ) ( )) ( ( ) ( )) 16 a a b b c c b c b a ( − − + − − = − )( ) ( )( ) 16 (a b b c c a − − − = )( )( ) 16 b) Ta trình bày hai cách