Tiêu đề 026_Tuyển sinh 10_Toán Chuyên_mới_tỉnh_Hải Dương_25-26 (1).pdf ✅

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2025-2026 Môn: Toán (Chuyên) Ngày thi: 03/06/2025 Thời gian làm bài: 150 phút, không tính thời gian phát đề Câu 1. (2,0 điểm) 1. Cho biểu thức 2 1 2 ( )(1 ) 1 1 1 2 1 x x x x x x x x x A x x x x   − − − + + − = + −     − + − , vơi 1 0, 1, 4 x x x    . Tìm các giá trị của x sao cho 1 7 A −  . 2. Cho abc , , là các số thực dương thỏa mãn a b c abc + + + = 2 1 . Tính giá trị biểu thức P a b c b c a c a b abc = − − + − − + − − − + (1 1 1 1 1 1 2024 )( ) ( )( ) ( )( ) Câu 2. (2,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình: ( ) 3 2 3 2 3 4 2 2 2 4 6 1 7 4 1 x x x y y x x x y  + + + = +  −  + − + = −  2. Cho x y z , , là các số thực thỏa mãn điều kiện x y z + + = 0 . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 3 2 2 2 2 x y z x y z − − − − + +  + + + Câu 3. (2,0 điểm) 1. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thoả mãn ( )( ) 2 2 x x y xy x − − + − = + 1 9 2 1. 2. Cho số nguyên tố lẻ p và số nguyên dương a thỏa mãn: 1 p a − chia hết cho 3 p . Chứng minh rằng a −1 chia hết cho 2 p . Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn (O) cố định và điểm A cố định trên (O), các điểm BC, thay đổi trên (O) sao cho BC, không trùng A và AC BC  . Điểm M trên đoạn BC sao cho MAC ABC = . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và BI cắt AC tại D . Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAC . 1. Chứng minh rằng hai tam giác CJM và CIA đồng dạng. 2. Gọi P là giao điểm khác I của đường thẳng CI và đường tròn ngoại tiếp tam giác AID , đường thẳng PM cắt đường thẳng JD tại N . Chứng minh rằng bốn điểm N M J C , , , thuộc một đường tròn. 3. Gọi T là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC. Chứng minh khi BC, thay đổi trên (O) thì T luôn thuộc một đường cố định. Câu 5. (1,0 điểm) Cho bảng vuông 7 7  gồm 49 ô vuông đơn vị như hình vẽ. Có 37 con robot được đặt vào tâm của các ô vuông đơn vị sao cho không có 2 con robot cùng nằm trong một 0 . Các con robot được lập trình để di chuyển đồng loạt, với cùng tốc độ, theo nguyên tắc như sau: Ban đầu, mỗi con đều di chuyển sang tâm của một ô vuông đơn vị bất kỳ chung cạnh với ô vuông nó đang đứng. Sau đó, mỗi khi chạm vào tâm của ô vuông đến, nó sẽ quay một góc 90 và di chuyển tiếp theo hướng đó sang tâm của ô tiếp theo và cứ tiếp tục di chuyển như thế (một ví dụ về cách di chuyển của một con robot như hình vẽ). Chứng minh rằng dù ban đầu có đặt các con robot như thế nào thì vẫn luôn có một thời điểm mà có hai con robot ở chung một ô vuông.