Tiêu đề Chuyên đề 4. CĂN BẬC BA, CĂN BẬC n.doc ✅

Chuyên đề 4. CĂN BẬC BA, CĂN BẬC n A. Kiến thức cần nhớ 1. Căn bậc ba a) Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a, kí hiệu 3,a là số x sao cho 3xa  Cho 3333,aaxxaaℝ  Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba.  Nếu 0a thì 30a  Nếu 0a thì 30a  Nếu 0a thì 30a b) Tính chất  330aab  333.abab  33 30aa b bb c) Các phép biến đổi căn bậc ba  333ABAB  333ABAB  32310AABB BB  33223 33 1AABB AB ABAB    ∓ ∓ 2. Căn bậc n a) Định nghĩa: Cho aℝ và ;2.nnℕ Căn bậc n của a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng a.  Trường hợp n lẻ 21; nkkℕ Mỗi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất: 2121kkaxxa Nếu 0a thì 210ka Nếu 0a thì 210ka Nếu 0a thì 210ka  Trường hợp 11 chẵn 2; nkkℕ Mỗi số thực 0a đều có hai căn bậc chẵn đối nhau. Căn bậc chẵn dương kí hiệu là 2ka (gọi là căn bậc 2k số học của a), căn bậc chẵn âm kí hiệu là 2ka 2 0kaxx và 2kxa 2 0kaxx và 2kxa Mọi số 0a đều không có căn bậc chẵn. b) Tính chất của căn bậc n ;2.nnℕ * 10,,nnkmmkAAAkmℕ  20,,2mnmnAAAmmℕ . 30,0nnnABABAB  40,0nn n AA AB BB * 50,mnmnAAAmℕ
Ứng dụng: - Công thức (1 ) dùng để hạ bậc một căn thức hoặc quy đồng chỉ số các căn thức. - Công thức (2) dùng để khai căn một căn thức. - Công thức (3) dùng để khai căn một tích, nhân các căn thức cùng chỉ số, để đưa một thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn. - Công thức (4) dùng để khai căn một thương và chia các căn thức cùng chỉ số, để khử mẫu của biểu thức lấy căn. - Công thức (5) dùng để nâng một căn thức lên một lũy thừa. B. Một số ví dụ Ví dụ 1: Thực hiện phép tính: a) 3354:2 b) 33837.837 Giải Tìm cách giải. Để thực hiện phép tính nhân căn bậc 3 ta sử dụng tính chất 333..ABAB Trình bày lời giải a) 333354:254:2273 b) 333837.837837837 33 6437273 Ví dụ 2: Rút gọn 332615326153A Giải Tìm cách giải. Để rút gọn biểu thức có dạng 3 abc ta viết biểu thức dưới dạng: 33,xy ta chú ý tới hằng đẳng thức: 32333xyxxxyyxy Do vậy ta xác định x và y thông qua 32 3; 3,xyyaxyb nhưng lưu ý xc chẳng hạn 326153 ta chọn x và y theo 32326; 315xyyxy và 3x suy ra: 2.y Trình bày lời giải: Ta có: 338123183381231833A 3333232323234A Ví dụ 3: Rút gọn 338484 11 99B Giải Tìm cách giải. Bài này thú vị và khó hơn ví dụ trước, không thể đưa về dạng 33.xy Do đó, để tính giá trị biểu thức có dạng 33Babab chúng ta nghĩ tới việc lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng thức 3333xyxyxyxy sau đó phân tích đa thức thành nhân tử rồi tìm B. Trình bày lời giải Áp dụng hằng đẳng thức 3333abababab ta có: 3 3 3 3 84848484 113.11. 3399 84 23.12 81 BB BBB     
3220120BBBBB mà 220BB Suy ra 1.B Ví dụ 4: Hãy tính giá trị biểu thức: 20203231 ,Qxx biết: 3 33 26153.23 980980 x    Giải Tìm cách giải. Bản chất của bài toán là rút gọn x. Quan sát biếu thức x, chúng ta nhận thấy trước hết cần rút gọn căn bậc ba ở tử thức và mẫu thức trước. Bằng kỹ thuật của hai ví dụ trên, chúng ta biến đổi 326153 bằng cách đưa về hàng đẳng thức lũy thừa bậc ba; đồng thời đặt 33980980a và xác định a. Sau đó xác định x. Trình bày lời giải Xét 33980980a   3 3 33 33 32 9809803.980980. 183.8180. 1833180 273903360 aa aa aaaa aaaaa     Ta có 2 2315 360 24aaa    nên 303aa Do đó 333322333181238.23 33x   3223431 333x    Vậy 2020202011 3.111 279Q   Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: 510119610.3225 2Q Giải Tìm cách giải. Nhận thấy rằng đây là nhân hai căn thức không cùng bậc. Do vậy chúng ta cần phải đưa về cùng bậc. Dễ thấy 105.2, do vậy chúng ta có thể đưa căn bặc 10 về căn bậc 5 dựa theo công thức: 102 5 .AA Với cách suy luận đó, chúng ta biến đổi 119610 2 về dạng bình phương của một biểu thức Trình bày lời giải Ta có 5101381210.3225 4Q    2 5 10 5 55 5 5 1 3225.3225 4 11 3225.322532253225 22 1 182011 2 Q Q Q   