Tiêu đề Góc học tập Sami - Đại Số - Chương II.pdf.pdf ✅

Ma trận - Định thức - Hệ phương trình Mảng Học tập và NCKH [email protected] BCH LCĐ - LCH Viện Toán Ứng dụng và Tin học http://bit.ly/LCDLCHSAMI Group Góc học tập SAMI http://bit.ly/gochoctapSAMI Mục lục 1 Ma trận 1 1.1 Định nghĩa và các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Ma trận bằng nhau và ma trận chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Các phép toán trên ma trận 2 2.1 Phép nhân một số với ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Cộng hai ma trận cùng cỡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 Phép nhân hai ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.4 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Định thức 5 3.1 Định thức cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 Tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.3 Định lý Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.4 Xác định ma trận nghịch đảo của ma trận không suy biến . . . . . . . . . . . . . . 6 4 Hạng của ma trận 7 5 Hệ phương trình tuyến tính 8 5.1 Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5.2 Cách giải hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5.3 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Mảng Học tập và NCKH BCH LCĐ-LCH VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC Reach the Top - Stop the F 1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và các khái niệm Định nghĩa. Cho K là một trường. m, n là hai số nguyên dương. Một ma trận A cấp (cỡ) m × n trên K là một bảng chữ nhật gồm mn phần tử thuộc K được viết thành m hàng và n cột như sau: A =     a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n · · · · · · · · · · · · am1 am2 · · · amn     Các số aij ∈ K i = 1, m; j = 1, n gọi là các phần tử của ma trận A. Để ngắn gọn ta kí hiệu A = aij m×n . Nếu m = n thì ma trận A được gọi là ma trận vuông cấp n và đường chéo nối các phần tử a11, a22, · · · , ann gọi là đường chéo chính. Ma trận cấp m × 1 gọi là ma trận cột, tức là ma trận có dạng:      x1 x2 . . . xm      Ma trận cấp 1 × n gọi là ma trân hàng, tức là ma trận có dạng: x1 x2 · · · xn Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm phía trên (phía dưới) đường chéo chính bằng 0 gọi là ma trận tam giác dưới (trên). A =     a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n · · · · · · · · · · · · 0 0 . . . ann     là ma trận tam giác trên B =     b11 0 . . . 0 b21 b22 . . . 0 · · · · · · · · · · · · bn1 bn2 . . . bnn     là ma trận tam giác dưới Ma trận đường chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0, tức là ma trận có dạng:     λ1 0 . . . 0 0 λ1 . . . 0 · · · · · · · · · · · · 0 0 . . . λn     Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI Tài liệu tham khảo: Đại số tuyến tính - Dương Quốc Việt, Nguyễn Cảnh Lương 1
Mảng Học tập và NCKH BCH LCĐ-LCH VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC Reach the Top - Stop the F Ma trận đường chéo cấp n mà tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1 gọi là ma trận đơn vị cấp n. Ta kí hiệu ma trận đơn vị là E. E =     1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 · · · · · · · · · · · · 0 0 . . . 1     Ma trận O cỡ m × n là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0. 1.2. Ma trận bằng nhau và ma trận chuyển vị Hai ma trận cùng cỡ A = aij m×n ; B = bij m×n gọi là bằng nhau nếu aij = bij với mọi i, j. Cho ma trận A cỡ m × n. Ma trận chuyển vị của A, kí hiệu AT , hoặc AC, là một ma trận cỡ n × m nhận được từ A bằng cách đổi hàng thành cột. Chẳng hạn, nếu: A =     a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn     thì A T =     a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2 · · · · · · · · · · · · a1n a2n · · · amn     Ma trận vuông A được gọi là đối xứng nếu AT = A. Ví dụ: A = 2 −1 3 1 0 2 thì A T =   2 1 −1 0 3 2   , A =   −1 2 0 2 5 3 0 3 −2   là một ma trận đối xứng. 2. Các phép toán trên ma trận 2.1. Phép nhân một số với ma trận Cho A = aij m×n là ma trận cỡ m × n và số α. Tích của α với ma trận A, kí hiệu αA: αA = αaij m×n Ma trận −1A được gọi là ma trận đối của ma trận A, kí hiệu là −A. Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI Tài liệu tham khảo: Đại số tuyến tính - Dương Quốc Việt, Nguyễn Cảnh Lương 2
Mảng Học tập và NCKH BCH LCĐ-LCH VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC Reach the Top - Stop the F Một số tính chất: 1. 1A = A 2. 0A = O 3. αO = O ∀α ∈ K 4. α(βA) = (αβ)A ∀α, β ∈ K Ma trận vuông A được gọi là phản đối xứng nếu AT = −A. Khi đó, các phần tử trên đường chéo chính của A bằng 0. 2.2. Cộng hai ma trận cùng cỡ Tổng của hai ma trận A = aij m×n và B = bij m×n là một ma trận: C = cij m×n được xác định bởi cij = aij + bij ; viết là C = A + B. Một số tính chất: 1. A + B = B + A 2. (A + B) + C = A + (B + C) 3. α(A + B) = αA + αB 4. A + O = O + A 5. A − A = O 6. (αA + βB) T = αAT + βBT Ví dụ:   −2 6 3 8 0 7 −6 1 8   +   3 8 −3 5 4 −1 0 4 7   =   1 14 0 13 4 6 −6 5 15   2.3. Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A = aij m×n và B = bij n×p . Ma trận C = cij m×p được gọi là tích của ma trận A với ma trận B nếu cij = Xn s=1 aisbsj Góc học tập SAMI: http://bit.ly/gochoctapSAMI Tài liệu tham khảo: Đại số tuyến tính - Dương Quốc Việt, Nguyễn Cảnh Lương 3