Tiêu đề DẠNG 1. VẬN DỤNG QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU.doc ✅

Trang 1 PHẦN I. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: VẬN DỤNG QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU 1. KIÊN THÚC CƠ BẢN: 1.1. Trong các tam giác vuông có các cạnh góc vuông AH và cạnh huyền AB thì ABAH . Dấu “=” xảy ra  B trùng với H. 1.2. Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến các điểm thuộc một đường thẳng, đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất. 1.3. Trong các đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai đường thẳng song song, đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ nhất. 1.4. Trong hai đường xiên cùng kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó. đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. 2. BÀI TẬP VẬN DỤNG. Bài 1: Cho tam giác ABC có ABAC ; AH là đường cao. D là điểm trên đường thẳng AH. Chửng minh rằng DBDC HƯỚNG DẪN GIẢI HB, HC lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên đường thẳng BC; ABACHBHC HB và HC lần lượt là hình chiếu của DB và DC trên đường thẳng BC nên HBHC DBDC Bài 2:Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng xy và cách đường thẳng xy một khoảng bằng a. Gọi M là điểm di dộng trên xy. Vẽ tam giác ABC vuông tại A sao cho AM là đường cao của tam giác đó. Tính giá trị nhỏ nhất của tích MB.MC HƯỚNG DẪN GIẢI
Trang 2 Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng xy H là điểm cố định và AH = a. Ta có: AMAH . Dấu ‘=” xảy ra MH Xét ABC vuông tại A có AM là đường cao nên 222.MBMCAMAHa : không đổi Dấu “=” xảy ra AMAHMH Vậy tích MB.MC đạt giá trị nhỏ nhất là a 2 MH Bài 3:Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: 222 119 AMANBC HƯỚNG DẪN GIẢI Kẻ AH vuông góc với d tại H. Gọi I là giao điểm của AG và BC nên I là trung điểm của BC. Ta có: 222 111 AMANAH Mà 2222 1119 2 3 AHAGBC AI     (vì AHAG ) Do đó 222 119 AMANBC . Dấu “=” xảy ra dAG Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Trên AB vả AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho AM = AH = AN. Chứng minh rằng 1 2AMNABCSS
Trang 3 HƯỚNG DẪN GIẢI 211.1 22AMNAMAHANSAMANAH 1 . 2ABCSBCAH Gọi D là trung điểm của BC 2.2.BCADAH nên 22ABCSAH Từ (1) và (2) suy ra 1 2AMNABCSS Dấu “=” xảy ra AHADABC là tam giác vuông cân tại A. Bài 5:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD, gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABD, J là giao điếm các đường phân giác của tam giác ADC, đường thẳng IJ cắt AB tại M và cắt AC tại N. Chứng minh rằng: a) Tam giác AMN vuông cân b) 1 2AMNABCSS HƯỚNG DẪN GIẢI a) Từ I và J hạ các đường vuông góc với các cạnh AB, AC, BC và AD (như hình vẽ) ,IPIQIFJHJKJE Ta chứng minh ;JGAEJKJEJHED nên JGJKADAKAGAD Do đó DALGAKAAQA . Nên AQAGAKALGQLK Gọi O là giao điểm của IL và IG NOIOJAM vuông cân tại A.
Trang 4 b) Từ câu a) suy ra AM = AN = AD 211 . 22AMNSAMANAD Gọi T là trung điểm của BC, ta có 21 .. 2ABCSBCADATADAD Suy ra: 1 2AMNABCSS Dấu “=” xảy ra ADATABC là tam giác vuông cân tại A Cách 1: Câu a. Gọi O là giao điểm của BI và CJ; P, Q là giao điểm của AI và AJ với BC Ta có:  1121;PABCAPACDACAPPAC (vì  ABCDAC ) CPA cân tại C  Phân giác CJ cũng là đường cao CJAPJQAP (1) Tương tự ABQ cân tại B  Phân giác BI cũng là đường cao BIAQIOAQ (2) Từ (l) và (2) suy ra AOMN mà AO là phân giác của góc  MAN . Do đó AMN vuông cân tại A Ta có:  1145MD do đó ta chứng minh được: ..AMIADIgcgAMADAN