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FSA AGADIR ELECTROMAGNÉTISME-S4 TD CORRIGES 2020 2021 COURS EN LIGNE http://saborpcmath.com/ https://sites.google.com/view/sabor-pc-math PAR WHATSAPP :06-26-45-09-23 SMPC SMAI CPGE ENSA,M FST Résumé des cours, corrigé des exercices et des examens, pour les étudiants niveau universitaire PHYSIQUE : MATH : INFORMATIQUE : CHIMIE : Veuillez nous contacter : 06-38-14-88-74
1 Polarisation macoscopique des milieux di ́electriques UNIVERSITE IBN ZOHR Ann ́ee 2020/2021 ́ Facult ́e des Sciences d’Agadir D ́epartement de Physique AGADIR TD 1 d’ ́electromagn ́etisme “Electricit ́e 3” - SMP4 ́ I. Dipˆole ́electrique Un dipˆole ́electrique est constitu ́e de deux charges ponctuelles −q et q > 0 plac ́ees respec- tivement aux points N et P. Soit O le milieu de NP (NP = `). On d ́efini le moment dipolaire par −→p = q −−→NP. On se propose de calculer le potentiel et le champ ́electrostatique en un point M tr`es ́eloign ́e de l’espace (r = OM >> `). 1) Montrer que le potentiel ́electrostatique V (M) cr ́e ́e par le dipˆole en M est : V = 1 4πε0 ~p . ~r r3 2) a) En d ́eduire que le champ ́electrostatique cr ́e ́e en M peut se mettre sous la forme : −→E (M) = 1 4πε0 3 ~p . ~r ~r − r2 ~p r5 b) Ecrire les composantes Er et Eθ du champ −→E (M) et en d ́eduire son module. c) Quelle est alors la relation entre les angles θ et β ? d) Repr ́esenter le champ −→E (M) aux quatre points de Gauss (points ́equidistants de O avec : θ = 0, π 2 , π et 3π 2 . 3) On place le dipˆole dans une r ́egion de l’espace o`u r`egne un champ ext ́erieur −→E ext uniforme. a) D ́eterminer la r ́esultante −→F des forces et le moment r ́esultant −→Γ s’exer ̧cant sur le dipˆole. b) D ́eterminer l’ ́energie potentielle du dipˆole. Etudier les orientations d’ ́equilibre du dipˆole et pr ́eciser leurs stabilit ́e. Pr. A.SDAQ SMP4 - TD Electricit ́e ́ 3
2 Polarisation macoscopique des milieux di ́electriques II. Sph`ere di ́electrique uniform ́ement polaris ́ee Une sph`ere di ́electrique de centre O et de rayon R est plac ́ee dans le vide o`u r`egne un champ ́electrique ext ́erieur −→E 0 uniforme et statique suivant Oz. Cette sph`ere ac- quiert une polarisation −→P = P ~ez uniforme (Figure 1). On cherche `a calculer le champ −→E p cr ́e ́e par le milieu polaris ́e par deux m ́ethodes diff ́erentes. • M ́ethode des charges de polarisation 1) Donner les densit ́es de charges surfacique σp et volumique ρp de polarisation en fonction de P et θ. 2) On se place en coordonn ́ee sph ́eriques. Exprimer le champ ́electrique ́el ́ementaire −→dEp cr ́e ́e en O par un ́el ́ement de surface de la sph`ere (portant la densit ́e σp) situ ́e `a un angle θ. 3) En d ́eduire le champ total −→E p en O dˆu `a toute la charge de polarisa- tion surfacique. On appelle −→E p le champ d ́epolarisant. Justifier cette d ́enomination. • M ́ethode du champ auxiliaire 4) Montrer que le potentiel ́electrostatique V (M) cr ́e ́e (par un di ́electrique polaris ́ee uniform ́ement) en tout point de l’espace a pour expression V (M) = −→P .→−E ∗ o`u −→E ∗ est ́equivalent `a un champ ́electrostatique dont on donnera la signifi- cation physique et l’expression analytique. Rappel : Potentiel cr ́e ́e par un dipˆole −→p en un point M situ ́e `a une distance r0 : dV = −→p .~r 0 4πε0r03 5) D ́eterminer les potentiels Vint(M) `a l’int ́erieur (rR) de la sph`ere.(On pr ́ecise que r = ||−−→OM||) 6) a) Calculer le champ ́electrique −→E int p `a l’int ́erieur de la sph`ere. b) Montrer que le champ `a l’ext ́erieur de la sph`ere a pour expression : −→E ext p = R3 3ε0 3(−→P .~r) ~r − r2−→P r5 Pr. A.SDAQ SMP4 - TD Electricit ́e ́ 3
3 Polarisation macoscopique des milieux di ́electriques Rappel : −−→grad(a b) = a −−→grad(b) + b −−→grad(a) 7) Montrer que les conditions aux limites pour −→E sont satisfaites `a la surface de la sph`ere. III. Cylindre di ́electrique uniform ́ement polaris ́e • Cylindre polaris ́e perpendiculairement `a son axe Sous l’action d’un champ ́electrique appliqu ́e E~a uniforme, un barreau di ́electrique de forme cylindrique (de rayon a et de longueur ` >> a) acquiert une polarisation volumique P~ uniforme perpendiculaire `a l’axe Oz du cylindre. On se propose de calculer le champ ́electrique cr ́e ́e par le cylindre polaris ́e `a l’aide de la m ́ethode du champ auxiliaire. 1) Calculer le potentiel V (M) et le champ ́electrique E~ (M) `a l’int ́erieur et `a l’ext ́erieur du cylindre. 2) D ́eterminer les densit ́es de charges de polarisation ́equivalentes et v ́erifier les relations de passage satisfaites par E~ (M) `a la surface du di ́electrique. • Cylindre polaris ́e parall`element `a son axe Un cylindre di ́electrique est polaris ́e uniform ́ement. Le vecteur polarisa- tion est parall`ele `a son axe. 3) Exprimer les densit ́es de charges de polarisation. 4) En d ́eduire le champ ́electrique au centre du cylindre. 5) Examiner les cas limites : cylindre tr`es long et disque IV. Lame di ́electrique uniform ́ement polaris ́e 1) On consid`ere une lame di ́electrique, non charg ́ee , d’ ́epaisseur e, dont les faces sont des plans consid ́er ́es comme infinis. Cette lame est plac ́ee, dans le vide, dans un champ ext ́erieur E~0 perpendiculaire aux faces planes. a) D ́eterminer les densit ́es surfaciques de charges fictives de polarisation. b) D ́eterminer le champ ́electrique (champ d ́epolarisant) cr ́e ́e `a l’int ́erieur de la lame par les charges de polarisation. On admettra que la lame est suffisamment peu ́epaisse pour que le champ dans le di ́electrique soit uniforme et parall`ele `a E~0. 2) On creuse `a l’int ́erieur de cette lame une cavit ́e sph ́erique de rayon R << e. D ́eterminer le champ −→E 0 au centre de la cavit ́e. Pr. A.SDAQ SMP4 - TD Electricit ́e ́ 3