Tiêu đề Chương 8_Bài 1_ _Đề bài_Toán 11_CTST.pdf ✅

CHƯƠNG VIII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN BÀI 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian Định nghĩa Góc giữa hai đường thẳng a , b trong không gian, kí hiệu a b, , là góc giữa hai đường thẳng a¢ và b¢ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b . Chú ý: a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a , b ta có thể lấy một điểm O nằm trên một trong hai đường thẳng đó và vẽ đường thẳng song song với đường thẳng còn lại. b) Góc giữa hai đường thẳng nhận giá trị từ 0° đến 90° . Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD A B C D . ¢ ¢ ¢ ¢ có 6 mặt đều là hình vuông và M , N , E , F lần lượt là trung điểm các cạnh BC , BA , AA¢ , A D¢ ¢ . Tính góc giữa các cặp đường thẳng: a) A C¢ ¢ và BC ; b) MN và EF . Lời giải a) Ta có AC A C // ¢ ¢, suy ra  A C BC AC BC ACB ¢ ¢, , 45  = = = °    (tam giác ABC vuông cân tại B ). b) Ta có AC MN // , AD EF ¢ // , suy ra MN EF AC AD CAD , , 60  = = = °  ¢ ¢   ( tam giác ACD¢ có ba cạnh bằng nhau). Cho hình hộp ABCD A B C D . ¢ ¢ ¢ ¢ có 6 mặt đều là hình vuông M , N , E , F lần lượt là trung điểm các cạnh BC , BA , AA¢ , A D¢ ¢ . Tính góc giữa các cặp đường thẳng: a) MN và DD¢; b) MN và CD¢ ; c) EF và CC¢ . Lời giải
a) Trong tam giác ABC có MN là đường trung bình nên MN / /AC Mà AA' // DD' Nên góc giữa MN và DD' là góc giữa AC Và AA¢ b) Vì MN//AC nên góc giữa MN và CD là góc giữa AC và CD¢ c) Trong tam giác AA D¢ ¢ có EF là đường trung bình nên EF AD / / ¢ Mà CC'//AA' Nên góc giữa EF và CC¢ là góc giữa AA¢ và AD¢ Khung của một mái nhà được ghép bởi các thanh gỗ như Hình 3. Cho biết tam giác OMN vuông cân tại O . Tính góc giữa hai thanh gỗ a và b . Lời giải Vì a OM / / nên góc giữa a và b là góc giữa MN và OM . Mà tam giác OMN vuông cân nên góc giữa a và b là 45o . 2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian Cho hình hộp ABCD A B C D . ¢ ¢ ¢ ¢ có 6 mặt đều là hình vuông. Nêu nhận xét về góc giữa các cặp đường thẳng: a) AB và BB¢ ; b) AB và DD¢. Lời giải
a) ABB A¢ ¢ là hình vuông nên góc giữa AB và BB 'là 90o . b) Vì DD AA '/ / 'nên góc giữa AB và DD ' là góc giữa AB và AA ' và bằng 90o . Định nghĩa Hai đường thẳng a , b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90° . Hai đường thẳng a , b vuông góc được kí hiệu là a b ^ hoặc b a ^ . Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD A B C D . ¢ ¢ ¢ ¢ có 6 mặt đều là hình vuông. Chứng minh rằng AB CC ^ ¢ , AC B D ^ ¢ ¢ . Lời giải Ta có CC BB ¢ ¢ // , suy ra  AB CC AB BB ABB , , 90 ¢ ¢ ¢  = = = °    . Vậy AB CC ^ ¢ . Ta có B D BD ¢ ¢ // , suy ra  AC B D AC BD , , 90 ¢ ¢ = = °   (hai đường chéo của hình vuông luôn vuông góc với nhau). Vậy AC B D ^ ¢ ¢ . Cho hình hộp ABCD A B C D . ¢ ¢ ¢ ¢ có 6 mặt đều là hình vuông. a) Tìm các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương và vuông góc với AC . b) Trong các đường thẳng tìm được ở câu a , tìm đường thẳng chéo với AC . Lời giải
a) Các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình hộp và vuông góc với AC là: BD B D AA CC BB DD , ' ', ', ', ', ' . b) Trong các đường thẳng trên, đường thẳng chéo với AC là B D' '. Chú ý: a) Hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. b) Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường này thì cũng vuông góc với đường kia. c) Trong không gian, khi có hai đường thẳng phân biệt a , b cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba c thì ta chưa kết luận được a b // như trong hình học phẳng. Hình bên mô tả một người thợ đang ốp gạch vào tường có sử dụng thước laser để kẻ vạch. Tìm các đường thẳng vuông góc với đường thẳng a trong Hình 4. Lời giải Các đường thẳng vuông góc với a là: chân tường, mép các viên gạch ốp,... B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1. Tính góc giữa hai đường thẳng 1. Phương pháp ▪ Lấy điểm O tùy ý ( ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng), qua đó vẽ các đường thẳng lần lượt song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng đã cho. ▪ Tính một góc trong các góc được tạo bởi giữa hai đường thẳng cắt nhau tại O. ▪ Nếu góc đó nhọn thì đó là góc cần tìm, nếu góc đó tù thì góc cần tính là góc bù với góc đã tính.