Tiêu đề A. KIẾN THỨC, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CĂN BẢN.doc ✅

Trang 1 Chương 3 A. KIẾN THỨC, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP CĂN BẢN § 1. ĐA GIÁC. ĐA GIÁC ĐỀU 1.1. Khái niệm về đa giác 1.1.1. Một hình gồm các đoạn thẳng 12231,,...,nAAAAAA được gọi là một đa giác nếu bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung thì đều không cùng nằm trên cùng một đường thẳng. Rõ ràng là các đoạn thẳng nói trên tạo thành một đường gấp khúc khép kín. Các điểm chung 12,,...,nAAA được gọi là các đỉnh. Như vậy, trong một đa giác, không có bất kì ba đỉnh liên tiếp nào thẳng hàng (các đỉnh không liên tiếp có thể thẳng hàng như hình chữ thập (2) dưới đây). 1.1.2. Trong một đa giác, đoạn thẳng nối hai đỉnh kề nhau được gọi là cạnh. Các góc ở đỉnh là các góc tạo bởi hai cạnh xuất phát từ cùng đỉnh đó. Ta nói đường chéo của đa giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau. Một đa giác có n đỉnh (3)n³ còn được gọi là n-giác, hay hình n-cạnh. Đặc biệt, với 3,4,5,6,8,n= ta quen gọi tương ứng là tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác, bát giác. 1.1.3. Một đa giác được gọi là đa giác lồi nếu nó luôn nằm trong nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó. Ở hình trên, (3), (4) là các đa giác lồi, còn (1) và (2) là các đa giác không lồi. Trong chương trình, chủ yếu, chúng ta khảo sát các đa giác lồi. Do đó, từ nay về sau, khi nói đa giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là đa giác lồi. Ví dụ 1. Chứng minh rằng tổng độ dài các cạnh của một ngũ giác lồi bé hơn tổng độ dài các đường chéo của nó. Giải. Kí hiệu các đỉnh và các giao điểm như hình vẽ. Các bất đẳng thức trong tam giác cho ta: . ABAMMB BCBRRC CDCQQD DEDPPE EAENNA <+ <+ <+ <+ <+ Từ đó: ABBCCDDEEA++++ .AMRCCQPEQDBRDPNAENMB<+++++++++ Mặt khác, ta có:
Trang 2 ,,AMRCACCQPECE+<+< ,,.QDBRBDDPNAADENMBEB+<+<+< Vì vậy, ,ABBCCDDEEAACCEBDADEB++++<++++ tức là có điều phải chứng minh. 1.2. Đa giác đều Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. Chẳng hạn, hình vuông là tứ giác đều, nhưng hình thoi thì không phải. §2. DIỆN TÍCH ĐA GIÁC 2.1. Khái niệm diện tích đa giác 2.1.1 .Số đo của phần mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác được gọi là diện tích của đa giác đó. 2.1.2.Mỗi đa giác đó có một diện tích xác định ( và duy nhất), diện tích đa giác là một số dương. Mỗi đơn vị diện tích bằng diện tích của một hình vuông có cạnh một đơn vị. Hai đa giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau. 2.1.3. Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của các đa giác đó. Ta thường kí hiệu diện tích đa giác ( chẳng hạn, ABCDE) bằng các kí hiệu: ,ABCDES dt(ABCDE), hoặc S(ABCDE),… Ví dụ 2. Ở hình bên, mỗi ô vuông có cạnh một đơn vị. Bốn tam giác vuông cân ở bốn góc tạo thành hai ô. Do đó, diện tích đa giác ABCDEF là 1622222+++= (đơn vị diện tích). 2.1.4. Dưới đây, chúng ta có công thức để tính các đa giác đặc biệt như hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang, hình bình hành, hình thoi, tứ giác có hai đường chéo vuông góc. Do đó, trong trường hợp tổng quát, để tính diện tích một đa giác, ta thường tìm cách phân các đa giác thành hợp của các đa giác đặc biệt nói trên, sau đó tính diện tích từng đa giác nhỏ rồi cộng chúng lại như đã nói ở Mệnh đề 2.1.3 (xem các ví dụ ở 2.4). 2.2. Diện tích các đa giác đặc biệt thường gặp 2.2.1 Diện tích hình chữ nhật, hình vuông Hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là a, b có công thức tính diện tích là: S=a.b. Như vậy diện tích hình vuông cạnh a là : 2 .Sa= Dễ thấy một tam giác vuông là một nửa hình chữ nhật, do đó, nếu a, b là hai cạnh góc vuông thì diện tích tam giác vuông là: 1 .. 2Sab= Ví dụ 3.
Trang 3 Nếu cạnh của hình vuông thứ nhất là đường chéo của hình vuông thứ hai, tìm tỉ số của diện tích hình vuông thứ nhất với diện tích hình vuông thứ hai. Giải. Từ Định lí Pythagore, dễ dàng chứng minh được nếu a là cạnh hình vuông thì đường chéo là: 222 22aaaa+== . Từ đó, nếu gọi s là cạnh hình vuông thứ nhất, thì cạnh hình vuông thứ hai là: 2 2s . Vậy tỉ số cần tìm là: 2 22. 2 2 s s = æö ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç èø 2.2.2. Diện tích tam giác Diện tích của tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: 1 . 2Sah= Ví dụ 4. Hãy tính AE ở hình bên dưới. Biết rằng: Tam giác ADC vuông cân tại D, //,//,EBDCADBC diện tích tam giác ADC = 8, diện tích tam giác BDC = 3. Giải. Diện tích tam giác ADC là 21 8 2Sx== nên 4,x= do đó 4.ADDC== Diện tích tam giác BDC 1 3. 2xy== nên 1,5.y= Ta biết //,//,EBDCADBC nên theo tính chất đoạn chắn ta có 1,5.EDBCy=== Vậy suy ra 2,5.AE= Ví dụ 5. Đặt hai tam giác bằng nhau có ba góc 30,60,90ooo sao cho cạnh huyền trùng nhau nhưng chúng chỉ có một phần chồng lên nhau. Biết cạnh huyền có độ dài 12. Tính diện tích phần chung của hai tam giác. Giải. Phần chung của hai tam giác là tam giác cân ABV có:
Trang 4 ·· 30.BAVABV==o Vẽ đường cao VM, tam giác AMV là nửa tam giác đều, nên: 3 .23. 3MVAM== Diện tích tam giác ABV là: .123.AMMV= Ví dụ 6. Cách chứng minh Định lí Pythagore của Euclide bằng diện tích hình vuông. Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng các hình vuông bên ngoài tam giác như hình vẽ. AH là đường cao, AH kéo dài cắt KI tại M. a) Chứng minh rằng: DBCABKD=D b) Suy ra diện tích DBCD = diện tích ABKD c) Chứng minh rằng: diện tích DBCD = 1 2 diện tích(ABDE). d) Chứng minh rằng diện tích ABKD = 1 2 diện tích (BHMK). e) Suy ra diện tích (ABDE) = diện tích (BHMK). f) Thiết lập hệ thức tương tự cho diện tích (ACFG) và diện tích(CHMI). g) Từ các kết quả trên, hãy chứng minh rằng 222.ABACBC+= Giải. a) Ta có ,. ABDBBCBKDBCABK==D=D vì chúng là hai tam giác vuông có hai cặp cạnh góc vuông bằng nhau. b) Suy ra diện tích DBCD = diện tích ABKD . Hai tam giác ADB và DBC có cùng chiều cao bằng AB ứng với cạnh đáy chung là DB nên có diện tích bằng nhau. Mặt khác, diện tích tam giác ADB bằng nửa diện tích hình vuông ABDE nên ta có: diện tích DBCD = 1 2 diện tích (ABDE). c) Tương tự như trên: diện tích ABKD = 1 2 diện tích (BHMK) d) Từ các câu (a), (b) và (c) ta suy ra diện tích (ABDE) = diện tích (BHMK). e) Hoàn toàn tương tự ta cũng có: diện tích (ACFG) = diện tích (CHMI). f) Từ các kết quả tra ta được: diện tích (ABDE) + diện tích (ACFG) = diện tích (BHMK) + diện tích (CHMI) = diện tích (BCIK). Theo công thức tính diện tích hình vuông, suy ra 222 .ABACBC+= 2.2.3. Diện tích hình thang Diện tích của hình thang bằng nửa tích của tổng