Tiêu đề Chủ đề 8. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH TÍCH PHÂN - Soạn bởi Đặng Việt Hùng.Image.Marked.pdf ✅

CHỦ ĐỀ 8: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH TÍCH PHÂN 1) Định lí: Cho hàm liên f  x trên a;b. hàm có x  t hàm liên trên sao cho và ;      a;    b a  t  b t ; . Khi      '  . b a f x dx f t t dt        Chú ý: Trong "# $% ! &' ta còn ) ! phép + , - + , . ) ! sau:  Cho hàm liên f  x trên a;b. 01 tính ,   4 khi ta hàm làm b a f x dx  u  u  x + , 3 trong trên có a;b,u  x hàm liên và u  x; .  có 1 , f  x  g u  xu ' x, xa;b, liên g u trên ; . Khi 3 ta có         . b u b a u a f x dx  g u du   2) Các dạng toán trọng tâm  Dạng 1: Đổi biến số với các hàm vô tỉ quen thuộc  Trong + 1# 6 7 có f  x dx 6 8 thì : 8 +; ! t.  Trong + 1# 6 7 có f  x dx 6 + 1# 6 <= > +? cao thì : + 1# 6 +; ! t.  Trong + 1# 6 7 có f  x dx 6 hàm < + 1# 6 trên < là @ hàm thì : + 1# 6 trên < +; ! t. Ví dụ 1: Tính các tích phân sau +; ! '$C ! pháp - + , / a) b) c) d) 4 0 . 3 2 1 dx I x     ln3 0 . 1 xdx I e    9 3 1 I  x. 1 xdx.  1 2 0 2 . 4 I dx x    Lời giải Chú ý: 0- + , ' - ? a) 0: 0- ? 2 t  2x 1  t  2x 1 dx  tdt. 0 1 . 4 3 x t x t          Khi   3 3 3 1 1 1 3 2 1 3ln 3 3 3.ln 6 1 3.ln 4 2 3.ln . 3 3 3 t I dt dt t t t t                       b) 0: 2 2 2 1 1 2 . 1 x x x t t e t e tdt e dx dx dt t           0- ? khi 0 2 , ln 3 2 x t x t            2 2 2 2 2 1 2 ln ln 3 3 2 2 . 1 1 dt t I t t          c) 0: 0- ? 3 3 2 t  1 x  t 1 x  3t dt  dx. 1 0 9 2 x t x t       
Khi       2 2 7 4 2 3 2 6 3 0 0 0 468 1 3 3 . 7 4 7 t t I t t t dt t t dt                     d) 0: x  2sin t  dx  2costdtt 0; . 0- ? 0 0 . 1 6 x t x t             Khi 6 6 6 3 2 0 0 0 0 4cos 4cos 2 2 . 4 4sin 2cos 3 t t I dt dt dt t t t               Ví dụ 2: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Cho là các M# N 55 16 ln 2 ln 5 ln11 9 dx a b c x x      a,b,c PQ " nào )$ B= là R ! A. a  b  c. B. a  b  c. C. a  b  3c. D. a  b  3c. Lời giải 0: 0- ? 2 t  x  9  t  x  9  2tdt  dx. 16 5 55 8 x t x t       Khi      8 8 8 2 5 5 5 2 2 2 3 1 5 1 1 2 1 1 ln ln ln ln 2 ln 5 ln11 9 3 3 6 3 3 11 3 4 3 3 3 tdt dt t I t t t t t                Do Chọn A. 2 1 1 ; ;c . 3 3 3 a  b     a  b  c Ví dụ 3: Cho là các M# N3 tính - ! 6 2 ln 3 ln 2 2 1 4 1 dx I a b c x x         a,b,c A  a  4b 12c. A. A  2. B. A  4. C. A  4. D. A  2. Lời giải 0: 0- ? 2 t  4x 1  t  4x 1 tdt  2dx. 6 5 2 3 x t x t       Khi 5 5 5 5 2 2 2 3 3 3 3 1 1 1 1 3 1 ln 1 ln 2 1 (t 1) 1 (t 1) 1 2 12 2 tdt tdt I dt dt t t t t t                                    1 1 ln 3 ln 2 1; 1; 12 12 a b c          Do A  a  4b 12c 1 4 1  4. Chọn B.  Dạng 2: Tích phân đổi biến số với hàm ẩn Chú ý tính W/ (tích phân không       ' #@ vào + , U b b b a a a f x dx  f t dt  f u du   
Ví dụ 1: Cho hàm liên f  x trên  X mãn   6 0 f x dx 12.  Tính tích phân   2 0 I  f 3x dx.  A. I  6. B. I  36. C. I  2. D. I  4. Lời giải Ta có:           Chọn D. 2 2 6 6 3 0 0 0 0 1 1 1 12 3 3 3 4. 3 3 3 3 t x I f x dx f x d x f t dt f x dx            Ví dụ 2: Cho hàm liên f  x trên và Tính 1;   3 0 f x 1 dx  8.    2 1 I  x. f x dx  A. I  2. B. I  8. C. I  4. D. I 16. Lời giải 0: và - ? 2 t  x 1  t  x 1 2tdt  dx 0 1 . 3 2 x t x t          Khi         Chọn C. 3 2 2 2 0 1 1 1 I  f x 1 dx  2 t. f t dt  8  t. f t dt  4  x. f x dx  4.     Ví dụ 3: Cho và . Tính tích phân theo a và b.   9 4 f x dx a x     1 0 f 2x dx  b    3 0 I  f x dx  A. 2 . B. C. D. 2 a I   b I  2a  b. I  2a  b. . 2 a b I   Lời giải Ta có:           9 9 3 3 4 4 2 2 2 2 2 2 t x f x dx a f x d x f t dt a f t dt x           Do   3 2 2 . 2 a f x dx   [ có:             1 1 2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 2 2 u x f x dx f x d x f u d u f x dx b          Do         Chọn A. 2 3 2 3 0 0 0 2 2 2 . 2 a f x dx  b  f x dx  f x dx  f x dx  b      Ví dụ 4: Cho hàm liên f  x trên  X mãn và   6 0 f sin 3x .cos3xdx 1      ln 2 0 . 3. x x e f e dx   Tính tích phân   2 0 I  f x dx.  A. I  4. B. I  5. C. I  2. D. I  6.
Lời giải Ta có:           6 6 1 1 sin3 0 0 0 0 1 1 1 sin 3 .cos3 sin 3 . sin 3 . . 1 3 3 3 t x f x xdx f x d x f t dt f x dx              1 0  f x .dx 3  [ có:           ln 2 ln 2 2 2 0 0 1 1 . 3 x x x x x u e e f e dx f e d e f u du f x dx          Do       Chọn D. 2 1 2 0 0 1 I  f x dx  f x dx  f x dx  3 3  6.    Ví dụ 5: Cho hàm liên f  x trên  X mãn     2 16 2 1 4 cot sin 1. f x xf x dx dx x       Tính tích phân   1 1 8 4 . f x I dx x   A. I  3. B. C. D. 3 . 2 I  I  2. 5 . 2 I  Lời giải     2 2 2 2 4 4 cos cot sin sin sin x A xf x dx f x dx x         0: - ? suy ra 2 t  sin x  dt  2sin x cos xdx,     1 1 1 1 2 2 1 2. 2 f t f x A dt dx t x       P: khác         16 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 u x f x f u f u f x B dx udu B du dx x u u x              Xét Chọn D.         1 4 4 4 4 1 1 1 1 8 2 2 2 4 5 . . 4 2 4 v x f x f v dv f v f x I dx I dv dx A B x v v x              Ví dụ 6: Cho các 5] ! ^ sau: (1). (2).   1 1 0 0 sin 1 x dx  sin xdx.   2 0 0 sin sin . 2 x dx xdx      (3). (4).     1 4 0 0 1 sin 2 cos 2 . 2 f x dx f x xdx         2 2 2 1 1 f x dx 2 x. f x 1 dx.   _ 5] ! ^ đúng là: