Tiêu đề Bài 03_Dạng 02. Viết phương trình mặt cầu_GV.pdf ✅

GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 1 Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu Phương pháp: Cần xác định được tọa độ tâm I a b c ( ; ; ) và độ dài bán kính r . Các bài toán cơ bản: Bài toán 1: Mặt cầu có tâm I a b c ( ; ; ) và đi qua điểm A x y z ( A A A ; ; ) thì bán kính ( ) ( ) ( ) 2 2 2 A I A I A I r IA x x y y z z = = − + − + − Bài toán 2: Mặt cầu (S ) có đường kính AB thì • Tâm I a b c ( ; ; ) là trung điểm của AB hay ; ; 2 2 2 A B A B A B x x y y z z I   + + +     • Bán kính ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 B A B A B A AB x x y y z z r − + − + − = = Bài toán 3: Mặt cầu có tâm I a b c ( ; ; ) và tiếp xúc với (): 0 Ax By Cz D + + + = thì bán kính ( ( )) 2 2 2 , . Aa Bb Cc D r d I A B C  + + + = = + + Bài toán 4: Mặt cầu qua bốn điểm A B C D , , , không đồng phẳng (hay gọi là ngoại tiếp tứ diện ABCD ). Gọi (S ) có dạng ( ) 2 2 2 x y z ax by cz d + + − − − + = 2 2 2 0 * • Thay tọa độ 4 điểm A B C D , , , vào (*) thì ta được hệ phương trình với 4 ẩn số a b c d , , , • Giải tìm a b c d , , , . • Suy ra tâm I a b c ( , , ) , bán kính 2 2 2 R a b c d = + + − . Bài tập 1: Viết phương trình mặt cầu (S ) : a) có tâm I(7; 3;0 , − ) bán kính R = 8 b) có tâm M (3;1; 4− ) và đi qua điểm N(1;0;1) c) có đường kính AB với A(4;6;8) và B(2;4;4) Lời giải a) Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I(7; 3;0 , − ) bán kính R = 8 là: ( ) ( ) 2 2 2 2 x y z − + + + = 7 3 8 hay ( ) ( ) 2 2 2 x y z − + + + = 7 3 64. b) Mặt cầu (S ) có tâm M (3;1; 4− ) và đi qua điểm N(1;0;1) nên có bán kính R MN = = 30. Vậy mặt cầu (S ) có phương trình là: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x y z − + − + + = 3 1 4 30 Hay ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z − + − + + = 3 1 4 30. c) Mặt cầu (S ) có đường kính AB với A(4;6;8) và B(2;4;4) nên có tâm J (3;5;6) là trung điểm của AB và bán kính R AJ = = 6. BÀI TẬP TỰ LUẬN
2 GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Vậy mặt cầu (S ) có phương trình là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z − + − + − = 3 5 6 6. Bài tập 2: Trong không gian Oxyz , cho điểm I (1; 2;3 − ) . Viết phương trình mặt cầu tâm I , cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho AB = 2 3 . Lời giải Gọi H là trung điểm của AB thì IH vuông góc với AB và ( ) 2 2 IH = − + = 2 3 13 . Suy ra bán kính mặt cầu là: R IA = = + = 3 13 4 . Vậy phương trình mặt cầu là ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z − + + + − = 1 2 3 16 . Bài tập 3: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm A(1;2; 3− ) và tiếp xúc với trục Ox . Lời giải Ta có: ( ) ( ) 2 2 R d A Ox = = + − = , 2 3 13 . Phương trình mặt cầu (S ) có tâm A(1;2; 3− ) , bán kính R = 13 có phương trình là: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 S x y z : 1 2 3 13 − + − + + = . Bài tập 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A B (6;0;0 , 0;4;0 ) ( ) và C(0;0;2). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Lời giải Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có dạng: ( ) 2 2 2 2 2 2 x y z ax by cz d a b c d + + − − − + = + + −  2 2 2 0 0 Do ( ) 2 2 2 0 0 36 12 0 3 , , , 14 16 8 0 2 4 4 0 1 d d a d a O A B C S R a b c d b d b c d c   = =     − + = =     = + + − =   − + = =       − + = = Mặt cầu tâm I R (3;2;1 , 14 ) = có phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z − + − + − = 3 2 1 14 . Bài tập 5: Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz) và đi qua các điểm A B C (0;8;0 , 4;6;2 , 0;12;4 ) ( ) ( ). Lời giải Gọi tâm mặt cầu là I b c Oyz (0; ; )( ). Do A B C (0;8;0 , 4;6;2 , 0;12;4 ) ( ) ( ) thuộc mặt cầu nên Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 IA IB IC b c b c b c = =  − + = + − + − = − + − 8 16 6 2 12 4 . 2 7 12 5 b c b b c c   − = =       + = = . Vậy I R IA (0;7;5 ; 26 ) = =
GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 3 Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Phương trình mặt cầu là ( ) ( ) 2 2 2 x y z + − + − = 7 5 26 . Bài tập 6: Trong không gian Oxyz , gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A(1;4; 3 − ) và chứa trục Ox. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (1;2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P). Lời giải Ta có OA = − (1;4; 3) nên OA i, 0; 3; 4 ( )   = − −   khi đó mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;4; 3− ) và có véctơ pháp tuyến n = (0;3;4) nên phương trình mặt phẳng (P) là: 3 4 0 y z + = . Lại có: ( ( )) 2 2 3.2 4.1 d , 2 3 4 I P + = = + . Mặt cầu tâm I (1;2;1) bán kính R I P = = d , 2 ( ( )) có phương trình là ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z − + − + − = 1 2 1 4 . Bài tập 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , hãy viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A B C (− − 2;3;3 , 1;1;2 , 4;2;2 ) ( ) ( ) và có tâm nằm thuộc mặt phẳng (Oyz) . Lời giải Vì mặt cầu có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz) nên tâm có dạng I b c (0; ; ). Vì mặt cầu đi qua ba điểm A B C (− − 2;3;3 , 1;1;2 , 4;2;2 ) ( ) ( ) nên ta có: 2 2 2 2 IA IB IC R IA IB IC R = = =  = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 3 1 1 2 1 1 2 16 2 2 b c b c b c b c   + − + − = + − + −    + − + − = + − + −  2 2 40 9 6 65 4 4 9 c c c c b  + − + = + − +    = ( ) 2 20 10 0;9; 10 , 4 36 169 209 9 9 c c I R IA b b   − = = −    − = = + + =     = = . Phương trình mặt cầu là ( ) ( ) 2 2 2 x y z + − + + = 9 10 209. Bài tập 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(− − 2; 4;5). Viết phương trình của mặt cầu tâm là A và cắt trục Oz tại hai điểm B , C sao cho ABC vuông. Lời giải Do AB AC = nên ABC vuông tại A. Gọi H trung điểm BC suy ra AH BH HC = = . Do đó H là hình chiếu của điểm A lên trục Oz.
4 GV. Tailieutoan.vn - SĐT: 0386.117.490 Chương 5. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Ta có: 2 2 2 2 AB AH BH AH = + = 2  = R AH 2 = d A Oz ( , . 2 ) 2 2 . 2 A A = + x y = 2 10 Vậy mặt cầu có phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z + + + + − = 2 4 5 40 Bài tập 9: Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1; 1;1 − ) và đường thẳng : 1 2 ,( ) 2 2 x t d y t t z t  =   = − −    = − . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d . Lập phương trình mặt cầu (S ) có tâm I(2;3; 1− ) sao cho tiếp xúc với (P). Lời giải Đường thẳng d đi qua M (0; 1;2 − ) và có vectơ chỉ phương u = − − (1; 2; 2). Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n AM u P x y z ; 2; 1;2 : 2 2 5 0 ( ) ( ) = = −  − + − =     . Bán kính mặt cầu ( ;( )) 2 I P R d = = nên phương trình mặt cầu là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y z − + − + + = 2 3 1 4. Bài tập 10: Phần mềm mô phỏng thiết bị thám hiểm đại dương có dạng hình cầu trong không gian Oxyz . Cho biết tọa độ tâm mặt cầu là I (360;200;400) và bán kính r m = 2 . Viết phương trình mặt cầu. Lời giải Phương trình mặt cầu tâm I (360;200;400) và bán kính r m = 2 là: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 xyz − + − + − = 360 200 400 4 .