Tiêu đề Chuyên đề 19. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH.doc ✅

Chuyên đề 19. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH A. Kiến thức cần nhớ Bước 1. Lập phương trình. • Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp của ẩn. • Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn số và các đại lượng đã biết. • Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2. Giải phương trình nói trên. Bước 3.Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và trả lời. B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 2400 sản phẩm trong thời gian dự định. Trong 5 ngày đầu họ thực hiện đúng mức đề ra, nhưng vì muốn hoàn thành sớm 5 ngày nên trong những ngày còn lại họ phải làm vượt mức mỗi ngày 20 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày họ cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Giải Tìm cách giải. Để giải dạng toán này, chúng ta nên nhớ: Năng suất = khèil­îngc«ngviÖc thêigian  Thời gian = khèil­îngc«ngviÖc n¨ngsuÊt Sau gọi ẩn là năng suất, chúng ta biểu diễn thời gian dự định và thời gian thực tế theo ẩn số và các số đã biết. Phương trình lập được là phương trình về thời gian. Trình bày lời giải Gọi số sản phẩm theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất là x (sản phẩm / ngày, *)xZ Suy ra trong 5 ngày đầu họ làm được 5 x (sản phẩm), thời gian làm số sản phẩm còn lại là 24005 20 x x   ngày Thời gian làm theo kế hoạch là 2400 x ngày Theo đề bài nhóm thợ hoàn thành sớm 5 ngày so với dự định, ta có phương trình 2240052400 554096000 20 x xx xx    Giải ra ta được 180x (thỏa mãn điều kiện), 2120x (loại) Vậy theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất 80 sản phẩm. Ví dụ 2. Một tổ chức có kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo năng xuất dự định. Nếu tăng năng xuất lên 10 sản phẩm mỗi ngày thì tổ đó hoàn thành sớm 2 ngày so với giảm năng suất 10 sản phẩm mỗi ngày. Tính năng xuất dự kiến. Giải Gọi năng suất dự kiến là x ( x  N*, x sản phẩm) Nếu năng suất mỗi ngày tăng thêm 10 sản phẩm thì thời gian hết là 350 10x ngày Nếu năng suất mỗi ngày giảm đi 10 sản phẩm thì thời gian hết là: 350 10x ngày Theo đề bài, nếu tăng năng xuất lên 10 sản phẩm mỗi ngày thì tổ đó hoàn thành sớm 2 ngày so với giảm năng suất 10 sản phẩm mỗi ngày, ta có phương trình 350350 2 1010xx  2 2 350350035035002200 27200 xxx x   160x (thỏa mãn), 260x (không thỏa mãn) Vậy năng suất dự kiến là 60 sản phẩm mỗi ngày. Ví dụ 3. Hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước và đầy bế sau 1h48 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 1h30 phút. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?
Giải Đổi 1h48 phút = 9 5h , 1h30 phút = 3 2h Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là x (giờ, 9 ) 5x Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là 3 2x    giờ suy ra l giờ vòi thứ nhất chảy đuợc 1 x bể 1 giờ vòi thứ hai chảy được 1 3 2x bể Theo đầu bài, hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước và đầy bể sau 1h48 phút 9 5h    , ta có phương trình 2115 1051270 39 2 xx x x   Giải ra ta được 14,5x (thỏa mãn điều kiện), 20,6x (không thỏa mãn điều kiện) Vậy nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể hết 4,5h và vòi thứ hai chảy đầy bể hết 4,51,53h Ví dụ 4. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720m 2 , nếu tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng đi 4m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tìm kích thước mảnh vườn. Giải Gọi chiều dài của mảnh vườn là x 0mx Chiều rộng của mảnh vườn là 720m x Chiều dài của mảnh vườn khi tăng thêm 6m là 6xm Chiều rộng mảnh vườn khi giảm đi 4m là 7204m x Theo đề bài, diện tích mảnh vườn không đổi, ta có phương trình: 27204672042443200xxx x     Giải ra, ta được 130x (thỏa mãn), 236x (không thỏa mãn) Vậy chiều dài của mảnh vườn là 30 m, chiều rộng của mảnh vườn là 720 24 30m Ví dụ 5. Một phòng họp chứa 300 chỗ ngồi được chia thành các dãy có số ghế bằng nhau. Nếu thêm hai chỗ vào mỗi dãy ghế và bớt đi 3 dãy ghế thì trong phòng bớt đi 11 chỗ ngồi. Hỏi phòng họp lúc đầu có bao nhiêu dãy ghế, mỗi dãy có bao nhiêu ghế? Giải Tìm cách giải. Dạng toán này chúng ta lưu ý: số ghế trong phòng = số dãy x số ghế trong một dãy. Lời giải tương tự như dạng bài toán về hình chữ nhật biết diện tích và sự thay đổi kích thước của nó. Trình bày lời giải Gọi số dãy ghế của phòng họp lúc đầu là x (,xNx dãy) Và số ghế mỗi dãy là 300 x (ghế) Số dãy ghế lúc sau là 3x dãy Số ghế ở mỗi dãy lúc sau là 300 2 x (ghế)
Theo đề bài, ta có phương trình: 3003230011x x     2900 30026289259000xxx x Giải ra, ta được 120x (thỏa mãn), 222,5x (không thỏa mãn) Vậy số dãy ghế là 20 dãy và mỗi dây có 300 15 20 ghế Ví dụ 6. Cùng một thời điểm, một chiếc ô tô X A xuất phát từ thành phố A hướng về thành phố B và một chiếc xe khác X B xuất phát từ thành phố B hướng về thành phố A. Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi và gặp nhau lần đầu tại một điểm cách A là 20km. Cả hai chiếc xe sau khi đến B và A tương ứng, lập tức quay trở lại và chúng gặp nhau lần thứ hai tại một địa điểm C. Biết thời gian xe X B đi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ. Hãy tính vận tốc của từng chiếc ô tô. (Tuyển sinh lớp 10, THPT năng khiếu ĐHQG. TP Hồ Chí Minh, năm học 2004 - 2005) Giải Gọi M là chỗ gặp nhau lần đầu; vận tốc của ô tô đi từ A là x /,0kmhx ; vận tốc ô tô đi từ B là y /,0kmhy . Thời gian xe đi từ A đến M là 20h x Thời gian này cũng là thời gian xe X B đi từ B đến M. Khoảng cách BM là 2020.yykm xx Quãng đường AB là 2020ykm x Khoảng cách CB là 10 606 y ykm Khoảng cách AC là 2020 6 yy km x Tổng khoảng cách MB và BC là 20 6 yy km x Theo đầu bài, ta có phương trình: 201 6 yy x x Tổng khoảng cách MA và AC là: 2020202040 66 yyyy km xx Theo đầu bài ta có phương trình 20402 6 yy y x Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:   201 1 6 207 402 6 yx x y x           Từ (1) và (2) ta có: 2201207 40716048000 66xx xx     Giải ra ta được 140x (thỏa mãn), 2 1 17 7x (không thỏa mãn) 60y Vậy vận tốc của ô tô X A là 40 km/h, vận tốc của ô tô X B là 60 km/h. C. Bài tập vận dụng 19.1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì đầy sau 7h12 phút. Nếu mỗi vòi chảy riêng mà đầy bể thì tổng thời gian là 30 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể trong thời gian bao lâu? Hướng dẫn giải – đáp số Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là x giờ 030x Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là 30x giờ
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được 1 x (bể) Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy được 1 30x (bể) Theo đề bài, hai vòi cùng chảy mà đầy bể sau 7h12 phút ( 1 7 5 giờ). Ta có phương trình: 2111 71302160 530xx xx     Giải ra ta được có 1212;18xx (thỏa mãn) Vậy nếu vòi thứ nhất chảy riêng là 12(giờ) thì vòi hai chảy riêng đầy bể là 301218 (giờ) và ngược lại 19.2. Một tổ dự định sản xuất 720 sản phẩm theo năng suất dự định. Nếu sản xuất tăng 10 sản phẩm mỗi ngày sẽ nhanh hơn giảm năng suất 20 sản phẩm mỗi ngày là 4 ngày. Tính năng suất dự kiến. Hướng dẫn giải – đáp số Gọi năng suất dự kiến là x ( *,xNx sản phẩm) Nếu năng suất mỗi ngày tăng thêm 10 sản phẩm thì thời gian hết là 720 10x ngày Nếu năng suất mỗi ngày giảm đi 10 sản phẩm thì thời gian hết là: 720 20x ngày Theo đề bài, ta có phương trình 720720 4 2010xx  2 2 720720072014400440800 440224000 xxxx xx   180x (thỏa mãn), 270x (không thỏa mãn) Vậy năng suất dự kiến là 80 sản phẩm mỗi ngày. 19.3. Một hợp tác xã dự kiến thu hoạch 200ha lúa trong thời gian đã định. Song thực tế mỗi ngày thu hoạch nhanh hơn so với kế hoạch là 5 ha nên đã hoàn thành công việc nhanh hơn dự kiến 2 ngày. Hỏi theo dự kiến mỗi ngày thu hoạch bao nhiêu ha? Hướng dẫn giải – đáp số Gọi mỗi ngày theo dự kiến thu hoạch được x ,0hax Thời gian thu hoạch theo kế hoạch là 200 x ngày Thời gian thu hoạch thực tế là 200 5x ngày Theo đề bài, ta có phương trình 200200 2 5xx  2 2 2001000200210 21010000 xxxx xx   120x (thỏa mãn), 225x (không thỏa mãn) Vậy theo dự kiến mỗi ngày thu hoạch 20 ha. 19.4. Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4h. Nếu mỗi đội làm một mình xong công việc ấy thì đội thứ nhất cần ít thời gian hơn đội thứ hai là 6h. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu? Hướng dẫn giải – đáp số Gọi thời gian đội thứ nhất làm 1 mình xong công việc hết x (giờ, x > 4) Suy ra thời gian đội thứ hai làm 1 mình xong công việc hết ( x + 6) giờ Trong 1h đội thứ nhất làm được 1 x công việc