Tiêu đề Mục 3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ DÂY ĐẾN TÂM.pdf ✅

Chương II. ĐƯỜNG TRÒN Mục 3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ DÂY ĐẾN TÂM Những kiến thức cơ bản bắt buộc phải nhớ Định lí 1: Trong một đường tròn a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm b) Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau Định lí 2: Trong hai dây của một đường tròn a) Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn b) Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn BÀI TẬP Bài 48: (12/106/SGK T1) Cho đường tròn bán kính 5cm, dây O AB 8cm a) Tính khoảng cách từ O đến dây AB b) Gọi là I điểm thuộc dây sao cho AB AI 1cm kẻ dây CD đi qua và vuông góc I với . AB Chứng minh rằng CD  AB Giải GT Đường tròn O, OA 5cm Dây AB 8cm I  AB; AI 1cm CD  AB tại I KL * Khoảng cách từ O đến AB ? * CD  AB Chứng minh a) Tính khoảng cách từ O đến AB Kẻ OH  AB tại H Do nên (Theo OH  AB       định lí: Trong một đường tròn, đường kính 8 4 2 2 AB HA HB cm vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)
OAH vuông tại (cách H vẽ) nên (Theo   định lí Py – ta – go) 2 2 2 OA AH OH         2 2 2 2 2 OH OA AH 5 4 25 16 9  OH  9  3cm b) Chứng minh CD  AB Muốn chứng minh được ta CD  AB dựa vào định lí: Trong một đường tròn, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Như vậy ta phải chứng minh OH  OK OK  CD, K CD Tứ giác có là hình IHOK IHO  HIK  IKO  90  IHOK chữ nhật (Theo dấu hiệu 1: Tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật) (Hai  OK  HI cạnh đối của một hình chữ nhật) nên là hình vuông (Theo dấu hiệu 1:     4 1 3 3 có 3 minh tr n Mà IH AH AI cm IH OH cm Lai OH cm chúng ê             IHOK Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông) (Theo  CD  AB định lí: Trong một đường tròn, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau). Bài 49: (13/106/SGK T1) Cho đường tròn có các dây và O AB CD bằng nhau, các tia và AB CD cắt nhau tại E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi và theo H K thứ tự là trung điểm của và AB CD a) Chứng minh EH  EK b) Chứng minh EA EC Giải GT Đường tròn O Dây dây AB CD HA HB; KC  KD ABCD  E KL * EH  EK * EA EC a) Chứng minh EH  EK Câu này thuộc thể loại toán: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Có nhiều cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Trong các cách chứng minh đó, có một cách được sử dụng nhiều hơn cả là: Muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, ta chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng đó bằng nhau. Tam giác nào chứa đoạn thẳng và tam giác nào EH chứa đoạn thẳng ? EK Tam giác OHE chứa đoạn EH, OKE chứa đoạn và có EK, OHE OKE bằng nhau không? Ta thấy và có OHE OKE một cạnh chung là . Ta OE phải tìm các yếu tố bằng nhau khác để đủ điều kiện kết luận OHE  OKE
Theo giả thiết (Theo HA HB OH  AB định lí: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy). Tương tự cũng có vuông OK  CD  OHE tại , vuông H OKF tại K Lại có AB CD (giả thiết) nên (Theo OH  OK định lí: Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm). Do thế ta có: OHE và vuông OKE tại và H K (chứng minh trên) có: cạnh huyền OE  cạnh huyền OE (cạnh chung) OH  OK (chứng minh trên)  OHE  OKF (cạnh huyền – cạnh góc vuông) (hai  HE  KE cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) b) Chứng minh AE  CE Câu này cũng thuộc thể loại toán: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. Nhưng để có ta AE  CE không chứng minh tam giác có chứa đoạn AE bằng tam giác chứa đoạn , ta dùng CE phương pháp cộng đoạn thẳng. Do là trung H điểm của đoạn thẳng AB (giả thiết) nên   2 AB AH HB Tương tự có mà   (giả thiết) nên 2 CD CK KD AB CD AH  CK (nửa của hai đoạn thẳng bằng nhau) (1) Và HE  KE (chứng minh trên) (2) Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có: AH  HE  CK  KE  AE  CE Bài 50: (14/106/SGK T1) Cho đường tròn bán kính O bằng 25cm, dây . AB 40cm Vẽ dây và có CD  AB khoảng cách đến AB bằng 22cm. Tính độ dài CD Giải GT Đường tròn O Bán kính 25cm Dây AB 40cm CD  AB CD cách là 22cm AB KL CD  ? Kẻ OI  AB tại ; I IO cắt CD tại K Do CD  AB (giả thiết) mà thì OI  AB OI  CD tại (Theo K định lí: Đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường kia)
Vì nên (Theo OI  AB IA IB định lí: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)      20  2 2 AB AO IA IB cm AOI vuông tại (cách I vẽ) nên:   (Định lí Py – ta – go) 2 2 2 OA IA OI         2 2 2 2 2 OI OA IA 25 20 625 400 225  OI  225 15cm Theo giả thiết IK  22cm OK  IK OI  2215 7cm OKC vuông tại K (chứng minh trên) nên:   (Theo định lí Py – ta – go) 2 2 2 OC OK CK         2 2 2 2 2 CK OC OK 25 7 625 49 576  CK  576  24cm mà       1 24.2 48 2 CK CD CD cm Vậy có CD độ dài là 48cm. Bài 51: (15/106/SGK T1) Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là cho O biết . Hãy so sánh các AB CD độ dài: a) và ; OH OK b) và ; ME MF c) và MH MK Giải GT Hai đường tròn đồng tâm O Dây > dây AB CD OH  AB, OK  CD KL * OH  OK * ME  MF * MH  MK Chứng minh a) Chứng minh OH  OK Làm thế nào để chứng minh OH  OK Muốn chứng minh được bất đẳng thức này là nghĩ ngay đến các định lí về đường tròn có sự so sánh khoảng cách từ dây đến tâm Do AB CD (giả thiết) mà là OH khoảng cách từ dây AB đến tâm . là O OK khoảng cách từ dây CD đến tâm . O Từ đó ta có: (Theo OH  OK định lí 2: Trong hai dây của một đường tròn: Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn) b) Chứnh minh ME  MF