Tiêu đề 5-1-PP BAI TOAN THUC TA VE KSHS-HS.pdf ✅

https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 BÀI 5: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN Phần 1: Một số ví dụ về bài toán thường gặp về bài toán liên quan đến thực tiễn: Bài toán 1:TỐC ĐỘ THAY ĐỔI CỦA MỘT ĐẠI LƯỢNG Giả sử y là một hàm số của x và ta viết y f x  ( ) . Nếu x thay đổi từ 1 x đến 2 x , thì sự thay đổi của x là 2 1    x x x và sự thay đổi tương ứng của y là    y f x f x  2 1   . Tỉ số  2 1    2 1 y f x f x x x x      được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y đối với x trên đoạn  x x 1 2 ; . Giới hạn     2 1 2 1 0 2 1 lim lim x x x y f x f x    x x x      được gọi là tốc độ thay đổi tức thời của y đối với x tại điểm 1 x x  . Như vậy, đạo hàm f a( ) là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng y f x  ( ) đối với x tại điêm x a  . Dưới đây, chúng ta xem xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối với vật lí, hoá học, sinh học và kinh tế: - Nếu s s t  ( ) là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì v s t  ( ) biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi củ̉a độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a t v t s t ( ) ( ) ( )     . -Nếu C C t    là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hoá học tại thời điểm t , thì C t ( ) là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm t . - Nếu P P t  ( ) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t , thì P t ( ) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t . - Nếu C C x  ( ) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hoá, thì tốc độ thay đổi tức thời C x ( ) của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên. - Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên C x ( ) xấp xỉ với chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo, tức là đơn vị hàng hoá thứ x 1 (xem SGK Toán 11 tập hai, trang 87 , bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống). Ví dụ 1. Khi bỏ qua sức cản của không khi, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2 m với vận tốc ban đầu 24,5 m / s là 2 h t t t ( ) 2 24,5 4,9    (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016). a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây. b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu? c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu? Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 2. Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hinh hoá bằng hàm số 0,75 ( ) t a P t b e   , trong đó thời gian t được tính bằng
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 giờ. Tại thời điểm ban đầu t  0 , quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị của a và b . Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài? Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 3. Giả sử chi phí C x( ) (nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị của một loại hàng hoá nào đó được cho bởi hàm số 2 3 C x x x x ( ) 30000 300 2,5 0,125     . a) Tìm hàm chi phí biên. b) Tìm C(200) và giải thích ý nghĩa. c) So sánh C(200) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201. Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 4. Để loại bỏ x% chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là 300 ( ) (triêu dông), 0 100. 100 x C x x x     Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y C x  ( ) . Tự đó, hãy cho biết: a) Chi phí cần bỏ ra sẽ thay đổi như thế nào khi x tăng? b) Có thể loại bỏ được 100% chất gây ô nhiễm không khí không? Vì sao? Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 5: Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao mạch và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu (tức là áp lực của máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một người có huyết áp tâm thu P (tính bằng mmHg) được cho bởi hàm số 2 2 25 125 ) ,0 10 1 ( t P t t t      , trong đó thời gian t được tính bằng giây. Tính tốc độ thay đổi của huyết áp sau 5 giây kể từ khi máu rời tim. Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài toán 2:MỘT VÀI BÀI TOÁN TỐI ƯU HOÁ ĐƠN GIẢN Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của đạo hàm là cung cấp một phương pháp tổng quát, hiệu quả để giải những bài toán tối ưu hoá. Trong mục này, chúng ta sẽ giải quyết những vấn đề thường gặp như tối đa hoá diện tích, khối lượng, lợi nhuận, cũng như tối thiểu hoá khoảng cách, thời gian, chi phí. Khi giải những bài toán như vậy, khó khăn lớn nhất thường là việc chuyển đổi bài toán thực tế cho bằng lời thành bài toán tối ưu hoá toán học bằng cách thiết lập một hàm số phù hợp mà ta cần tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của nó, trên miền biến thiên phù hợp của biến số. Quy trình giải một bài toán tối ưu hoá: Bước 1. Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Bước 2. Chọn một đại lượng thich hợp nào đó, kí hiệu là x , và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x . Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x . Tìm tập xác định của hàm số Q Q x  ( ) . Bước 3. Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q Q x  ( ) bằng các phương pháp đã biết và kết luận. Ví dụ 6. Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích 1 lít. Tìm các kích thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (kết quả được tính theo centimét và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 7. Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất? Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 8. Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết bị gia dụng nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và bán x chiếc máy xay sinh tố hằng tháng thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) là 3 2 P x x x x ( ) 0,3 36 1800 48000.      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y P x x   ( ), 0 . Sử dụng đồ thị đã vẽ để trả lời các câu hỏi sau: a) Khi chỉ sản xuất một vài máy xay sinh tố, công ty sẽ bị lỗ (vì lúc này lợi nhuận âm). Hỏi hằng tháng công ty phải sản xuất ít nhất bao nhiêu chiếc máy xay sinh tố để hoà vốn? b) Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu? Công ty có nên sản xuất 200 chiếc máy xay sinh tố hằng tháng hay không? Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 9: Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3 km và muốn đến điểm B ở bờ đối diện cách 8 km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (H.1.35). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B , hoặc anh có thể chèo thuyền thẳng đến B , hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B . Nếu vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc chạy bộ là 8 km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến được B càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).
https://tuikhon.edu.vn Tài liệu word chuẩn. ĐT: 0985029569 Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 10: Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần. a) Tìm hàm cầu. b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu là lớn nhất? c) Nếu hàm chi phí hằng tuần là C x x   12000 – 3 (triệu đồng), trong đó x là số ti vi bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất? Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 11: Giả sử chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình v km h  /  theo công thức:     16000 5 0 120 2 C v v v v     . Tìm chi phí tiền xăng nhỏ nhất Hãy vẽ đồ thị hàm số C C v   . Tìm chi phí tiền xăng nhỏ nhất Lời giải ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 12: Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được x mét vải lụa 1 18  x . Tổng chi phí sản xuất x mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí 3 2 C x x x x ( ) 3 20 500     Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi B x( ) là số tiền bán được và L x( ) là lợi nhuận thu được khi bán x mét vải a)Hãy viết biểu thức tính B x( ) và L x( ) theo x b)Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số L x( ) trên 1;18 c)Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày bao nhiêu mét vải để thu được lợi nhuận tối đa. Tính lợi nhuận tối đa đó Lời giải