Tiêu đề Chương 4_Bài 4_ _Toán 12_CD_Lời giải.doc.docx ✅

BÀI 4. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ()yfx , trục hoành và hai đường thẳng ,xaxb Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau: Cho hàm số ()yfx liên tục trên đoạn  ;ba . Khi đó, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ()yfx , trục hoành và hai đường thẳng ,xaxb là: d.b a Sfxx  Ví dụ 1. Cho hàm số 3yx có đồ thị như Hình 12 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 3yx , trục {Ox} và hai đường thẳng 1,1xx . Lời giải Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 3yx , trục {Ox} và hai đường thẳng 1,1xx là: 101 333 110 dddxxxxxx   01014433 1010 d d 44 xx xxxx   1111100. 44442     2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số (),()yfxygx và hai đường thẳng ,xaxb Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau: Cho các hàm số (),()yfxygx liên tục trên đoạn  ;b.a . Khi đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số (),()yfxygx và hai đường thẳng ,xaxb là: ()()d. b a Sfxgxx  Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số 321yxx , 33yxx và hai đường thẳng 1,3xx . Lời giải
Diện tích hình phẳng đã cho là: 332333 1112 213d2d2d2dSxxxxxxxxxxx  23 2322 12 12 (2)d(2)d221. 22 xx xxxxxx    Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 221151 2, 2222yxxyxx và hai đường thẳng 1,4xx . Lời giải Ta có: 221151 2 2222xxxx vối mọi [1;4]x (Hình 15). Vậy diện tích hình phẳng đó là: 4 22 1 1151 2d 2222Sxxxxx   422 1 1151 2d 2222xxxxx   42 1 91 d 22xxx    444 32 111 9135357 21. 342424 xxx  Ví dụ 4. Trên cửa sổ có dạng hình chữ nhật, hoạ sĩ thiết kế logo hình con cá cho một doanh nghiệp kinh doanh hải sản. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong Hình 16 (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là decimét). a) Lập phương trình các parabol ()yfx và ()ygx . b) Tính diện tích của logo.
c) Logo chỉ cho phép 50% lượng ánh sáng đi qua. Lượng ánh sáng đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Lời giải a) Giả sử parabol ()yfx cho bởi 2()(0)fxaxbxca . Do parabol ()yfx đi qua điểm (0;2)D nên 2c , suy ra 2()2(0)fxaxbxa . Vì parabol ()yfx đi qua các điểm (4;0),(4;0)CE nên ta có: 16420 16420. ab ab     Hệ phương trình trên có nghiệm là 1 ,0 8ab . Vậy 21 ()2 8fxx . - Giả sử parabol ()ygx cho bởi 21111()0gxaxbxca . Do parabol ()ygx đi qua điểm (0;3)G nên 13c , suy ra 2111()30gxaxbxa . Vì parabol ()ygx đi qua các điểm (4;0),(4;0)CE nên ta có: 11 11 16430 16430 ab ab     Hệ phương trình trên có nghiệm là 11 3 ,0 16ab . Vậy 23 ()3 16gxx . b) Diện tích của logo là: 12SSS , trong đó 1S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các parabol 2213 ()2,()3 816fxxgxx và hai đường thẳng 5,4xx ; 2S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các parabol 2213 ()2,()3 816fxxgxx và hai đường thẳng 4,4xx . Do đó, ta có: 44 54 ()()d()()dSfxgxxfxgxx    44 54 ()()d()()dgxfxxfxgxx    
44 2222 54 3113 32d23d 168816xxxxxx       44 22 54 55 5d5d 1616xxxx       44 44 33 54 54 55 55 4848xxxx      3056401345 540. 484848 Vậy 21345dm 48S . c) Gọi t là lượng ánh sáng đi qua mỗi 2 dm của logo. Suy ra lượng ánh sáng đi qua logo là 1345 48t . Mặt khác, diện tích của cửa sổ là 2(81)(23)45dm và lượng ánh sáng đi qua mỗi 2dm của phần cửa sổ nằm ngoài logo là 2t . Suy ra, lượng ánh sáng đi qua cửa sổ trước khi làm logo là 45290tt và lượng ánh sáng đi qua phần cửa sổ nằm ngoài logo là: 1345815 452. 4824tt    Do đó, tổng lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo là: 13458152975 . 482448ttt Tỉ số phần trăm của lượng ánh sáng đi qua cửa sổ sau khi làm logo so với lượng ánh sáng đi qua cửa sổ trước khi làm logo là: 2975297500 :90100%%68,9%. 484320tt    Vậy lượng ánh sáng khi đi qua toàn bộ cửa sổ sau khi làm logo sẽ giảm đi xấp xỉ là: 100%68,9%31,1%.  II. TÍNH THỂ TÍCH CỦA HÌNH KHỐI 1. Thể tích của vật thể Trong trường hợp tổng quát (Hình 18), ta có định lí sau: Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại xa và ()xbab . Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox .tại ()xaxb cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là ()Sx . Giả sử hàm số