Tiêu đề Chuyên đề 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO.doc ✅

CHƯƠNG I: Hệ thức lượng trong tam giác vuông Chuyên đề 1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO A. Kiến thức cần nhớ Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH (h.1.1). Khi đó ta có: 1) 22;babcac ; 2) 2hbc ; 3) bcah ; 4) 222 111 hbc ; 5) 222abc (định lí Py-ta-go). B. Một số ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A (  90A ), đường cao BH. Chứng minh rằng: 2 12AB CHBC Giải Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho ADAC . Do đó 1 2BAACADCD . Tam giác BCD có đường trung tuyến BA ứng với cạnh CD và 1 2BACD nên tam giác BCD vuông tại B. Xét BCD vuông tại B, đường cao BH ta có: 2.BCCDCH (hệ thức 1). Suy ra 2 2.BCABCH (vì 2CDAB ). Do đó 2 12AB CHBC Nhận xét: Đề bài cho BH là đường cao nhưng chưa phải đường cao tương ứng với cạnh huyền của tam giác vuông. Vì vậy ta vẽ thêm hình phụ để tạo ra tam giác vuông đỉnh B sao cho BH là đường cao ứng với cạnh huyền rồi vận dụng hệ thức (1). Ta cũng có thể vẽ hình phụ theo cách khác: Qua B vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt tia CA tại D. Cách này cũng tạo ra một tam giác vuông với BH là đường cao ứng với cạnh huyền.  Ví dụ 2. Hình thang ABCD có 90AD và BDBC . Biết 12,25ADcmCDcm . Tính diện tích hình thang. Giải Vẽ BHCD . Tứ giác ABHD có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.
Suy ra 12BHADcm và ABDH . Xét BDC vuông tại B, đường cao BH ta có: 2 .BHHDHC (hệ thức 2). Đặt HDx thì 25HCx ta được: 221225251440xxxx hay 1690xx . Suy ra 16x hoặc 9x . Với 16x thì 16AB . Diện tích hình thang là:  21625.12246 2Scm  . Với 9x thì 9AB . Diện tích hình thang là:  2925.12204 2Scm  . Nhận xét: Để tính diện tích hình thang ABCD ta cần biết thêm độ dài AB. Ta vẽ BHCD để "chuyển" AB thành DH. Có thể tính được DH vì trong tam giác vuông BDC đã biết hai yếu tố về độ dài. Ngoài ra, ta cũng dùng một công cụ trong đại số là giải phương trình để tính toán độ dài DH. Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, BC = 2a. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHD. Giải * Tìm cách giải: Để tính diện tích lớn nhất của tứ giác AEHD ta phải viết biểu thức tính diện tích của tứ giác AEHD theo độ dài đã biết, rồi tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đó. * Trình bày lời giải: Vẽ đường trung tuyến AM thì 1 2AMBCa . Tứ giác AEHD có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Diện tích hình chữ nhật này là: .SADAE . Xét ABH vuông tại H ta có: 2 .AHABAD (hệ thức 1), suy ra 2 AH AD AB
Tương tự ta có 2 AH AE AC . Do đó 224 . . AHAHAH S ABACABAC . Mặt khác ..ABACBCAH (hệ thức 3) nên 43 . AHAH S BCAHBC . Suy ra 3 AM S BC (vì AHAM ) Do đó 32 22 aa S a (dấu "=" xảy ra ABC vuông cân tại A). Vậy 2 max 2 a S khi ABC vuông cân tại A. Nhận xét: Để tìm sự liên hệ giữa chiều cao AH (chưa biết) với độ dài cạnh huyền BC (đã biết) ta vẽ thêm đường trung tuyến AM. Do AHAM ; 1 2AMBC nên AH đã liên hệ được với BC qua vai trò "bắc cầu" của AM. Ví dụ 4. Cho ba điểm A, B, C, trong đó A, B cố định, ABBCa . Vẽ tam giác ADE vuông tại A sao cho AC là đường cao. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng 22 11 ADAE . Giải * Tìm cách giải: Hệ thức 22 11 ADAE gợi ý ta nhớ đến hệ thức (4). Vì vậy ta dùng hệ thức này để giải bài toán. * Trình bày lời giải: Ta có AC là đường cao của tam giác ADE vuông tại A nên 222 111 ADAEAC (hệ thức 4) Tổng 22 11 ADAE có giá trị nhỏ nhất 2 1 AC có giá trị nhỏ nhất AC có giá trị lớn nhất.  Xét ba điểm ,,ABC ta có 2ACABBCa (dấu “=” xảy ra khi B là trung điểm của AC). Vậy 2222 1111 min 42ADAEaa     khi B là trung điểm AC. Ví dụ 5. Cho hình thang ABCD, 90AD , hai đường chéo vuông góc với nhau. Cho biết
,ABaCDb . a) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích hình thang ABCD. b) Chứng minh rằng các độ dài AC, BD và ABCD có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Giải * Tìm cách giải: Để tìm diện tích hình thang ABCD ta cần biết thêm chiều cao AD. Có thể tính được AD nhờ phương pháp đồng dạng. * Trình bày lời giải: a) ADB và DCA có: 90AD ; ADBDCA (cùng phụ với góc BDC). Do đó ADBDCADD: (g.g). Suy ra 2 ..ABAD ADABCDab DADC Do đó ADab . Diện tích hình thang ABCD là:  22 ABCDADabab S  Vì 2 ab ab  (bất đẳng thức Cô-si) nên .Sababab (dấu “=” xảy ra khi a = b hay khi ABCD là hình vuông). Vậy minSab khi ABCD là hình vuông. b) Xét ADB vuông tại A ta có: 2222BDABADaabaab . Xét DCA vuông tại D ta có: 2222ACADCDabbbab . Xét tổng 222ACBDbabaabab mà 22ABCDab . Vậy 222ACBDABCD . Do đó theo định lí Py-ta-go đảo thì AC, BD và ABCD có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. C. Bài tập vận dụng Vận dụng hệ thức (1) 1.1. Cho tam giác ABC vuông tại A, ,ABcACb . Vẽ đường cao AH. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu