Tiêu đề Chương 1 - BĐT qua các đề thi chọn HSG cấp THCS - Năm 2015 - 2016.doc ✅

Chương 1 BĐT QUA CÁC ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP THCS 1. NĂM HỌC 2015 – 2016 Bài 1 (Nghệ An). Với a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 222 111 3. 111 abc bca    Bài 2 (Bình Định). Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm GTNN của biểu thức: 4916abc A bcacabbac  Bài 3 (Phú Thọ). Với a, b, c là ba số thực phân biệt đôi một. Chứng minh rằng:   222 222 1119 2abc abbcca     Bài 4 (Thanh Hóa). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2223.abbcca Chứng minh rằng: 555555 333232323 15(2)abbcca abc abbcca   Bài 5 (Thái Bình). Với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn 222 111 12 xyz . Tìm GTNN của biểu thức: 111 2()Pxyz xyz Bài 6 (Đồng Tháp). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: 111 2 111abc  Tìm GTLN của biểu thức .Pabc Bài 7 (Hà Tĩnh). Với a là số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức: 2 1 (1) a Pa aa  Bài 8 (Đăk Nông). Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 222 3252()()abcabac Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 9 (Ninh Bình). Với x, y, z là các số thực không âm đôi một khác nhau thỏa mãn ()()1.zxzy Chứng minh rằng: 222 111 4 ()()()xyzxzy  Bài 10 (Gia Lai). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2221.abc Chứng minh rằng: 222222 33 . 2 abc bccaab  Bài 11 (Nam Định). Với 1n là một số nguyên dương. Chứng minh rằng: 234...(1)3nn Bài 12 (TP.HCM). Với x, y là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh rằng:
2 221 2xy xy xy     Bài 13 (Vĩnh Phúc). Với x, y, z là ba số thực không âm có tổng bằng 2. Chứng minh rằng: 2(2)(2)(2),xyzxyz Bài 14 (Bắc Giang). Với 12.x Tìm GTNN, GTLN của biểu thức: 36 . 3 xx T xx    Bài 15 (Quảng Bình). Với ,0,2.abab Tìm GTLN của biểu thức: 22 11 .M abba  Bài 16 (Bà Rịa – Vũng Tàu). Với a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn 2242()cbabc Tìm GTNN của biểu thức: 345 S bcaacbabc  Bài 17 (Bắc Ninh). Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 22223.abc Chứng minh rằng: 213 . abc Bài 18 (Trà Vinh). Với a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 754413 4 abcabbcca     Bài 19 (Hà Nội). Với x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn 3 0,, 2xyz và 3 . 4xyyzzx Tìm GTNN của biểu thức: 222 444 343434 xyz P xyz  Bài 20 (Hà Nội). Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 201620162016 201520152015abc abc bcacababc  Bài 21 (Hải Phòng). Với x, y, z là ba số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 1. 333 xyz xxyzyyzxzzxy 
LỜI GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHƯƠNG 1 Bài 1 (Nghệ An). Với a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng: 222 111 3. 111 abc bca    Lời giải: Ta có: 2 22 1(1) 1. 11 aba a bb    Tương tự cho 2 số hạng còn lại, ta được: 222 222222 111(1)(b1)(c1) (3) 111111 abcbaca abc bcabca      Do vậy ta cần chứng minh: 222 222 (1)(b1)(c1) 3. 111 baca bca    mà 22 2 (1)(1) . 122 babaabb bb    Tương tự cho hai số hạng còn lại, ta được: 222 222 (1)(b1)(c1)3 . 1112 bacaabbcca bca    Ta lại có: 2 () 3. 3 abc abbcca  Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1.abc Nhận xét: Áp dụng kết quả bài toán, ta có thể chứng minh cho bài toán sau: Với ba số thực dương a, b, c thỏa 3.abc Chứng minh rằng: 222222222 111111888 6 111222 abc abcbcaabbcca    (Chọn đội tuyển dự thi VMO – Quảng Ngãi năm học 2016 – 2017) Bài 2 (Bình Định). Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm GTNN của biểu thức: 4916abc A bcacabbac  Lời giải: Cách 1: Ta sử dụng phép thế Ravi cho bài toán. Tồn tại x, y, z > 0 sao cho: ;;.axybyzczx BĐT được viết lại là: 4()9()16()2()9()8() 2222 299882 612826. 22 AMGM xyyzzxxyyzzx A zxyzxy xzyxzy zxxyyz        Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
29 2 984 2. 23 82 xz zx yxx yz xy zy yz          Hay nói cách khác 77 65 bc a (thỏa điều kiện ba cạnh của tam giác), như vậy GTNN của A là 26. Cách 2: Ta có: 81832 2294916 4916 (). abc A bcacabbac abc bcacabbac       Theo BĐT Cauchy-Schwaz, ta có: 2 49169 bcacabbacabc  , do vậy ta được: 2298126AA Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 77 . 65abc Tức A có GTNN là 26. Nhận xét: Bài toán chứng minh 26A là đề thi HSG lớp 9 tỉnh Quảng Trị năm 2013 – 2014, và với giả thiết là 12abc tìm GTNN của P như trên ta có đề thi HOMC – 2017. Một bài toán tương tự: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2. Tìm GTNN của biểu thức: 49abc P bcacababc  (Tuyển sinh 10 chuyên Toán – Hải Dương năm học 2013 – 2014) Bài 3 (Phú Thọ). Với a, b, c là ba số thực phân biệt đôi một. Chứng minh rằng:   222 222 1119 2abc abbcca     Lời giải: Cách 1: BĐT tương đương với: 222222222 222222 9 ()()(ab)()()()2 abcbccacb bccabccaab    Trước hết ta thấy rằng 1 : 1. ()()()()()() bccaab abacbcbacacb   Ta chứng minh: 222 2222. ()(ca)() abc bcab  Thật vậy, ta có: 1 Chứng minh bằng phép biến đổi tương đương.