Tiêu đề Chuyên đề 14_Lũy thừa-mũ và loga_Đề bài.pdf ✅

CHUYÊN ĐỀ 14. LŨY THỪA-LOGARIT. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Phép tính luỹ thừa với số mũ nguyên Cho số thực a khác 0 và số nguyên dương n . Ta đặt n 1 n a a − = . Chú ý 0 0 và 0 −n ( n nguyên dương) không có nghĩa. Luỹ thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của luỹ thừa với số mũ nguyên dương. 2. Căn bậc n a) Định nghĩa Cho số thực a và số nguyên dương n n(  2) . Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu n b a = . Nhận xét Với n lẻ và a : Có duy nhất một căn bậc n của a , kí hiệu là n a . Với n chẵn, ta xét ba trường hợp sau: +) a  0 : Không tồn tại căn bậc n của a ; +) a = 0 : Có một căn bậc n của a là số 0; +) a  0 : Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, giá trị dương kí hiệu là n a , còn giá trị âm kí hiệu là n − a . b) Tính chất nêu le nêu chan; n n a n a a n  =   n n n a b ab  = ; n n n a a b b = ( ) n m n m a a = n k nk a a = . (Ở mỗi công thức trên, ta giả sử các biểu thức xuất hiện trong đó là có nghĩa). 3. Phép tính luỹ thừa với số mũ hữu tỉ Cho số thực a dương và số hữu tỉ m r n = , trong đó m n n    , , 2 . Luỹ thừa của a với số mũ r xác định bởi: m r n m n a a a = = . Nhận xét 1 ( 0, , 2) n n a a a n n =    .
Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên. 4. Phép tính luỹ thừa vói số mũ thực a) Định nghĩa Cho a là số thực dương,  là số vô tỉ, (rn ) là dãy số hữu tỉ và lim n r = . Giới hạn của dãy số ( ) n r a gọi là luỹ thừa của a với số mũ  , kí hiệu , lim n r a a a   = . b) Tính chất Cho ab, là những số thực dương;  , là những số thực tuỳ ý. Khi đó, ta có: a a a ;    +  = ( ) ; ab a b    =  ; a a b b        =   ; a a a     − = (a a ) ;    = Nếu a 1 thì a a        . Nếu 0 1   a thì a a        . Cho 0 ,   a b  là một số thực. Ta có: a b a b 0; 0.             5. Khái niệm lôgarit a) Định nghĩa Với a a   0, 1 và b  0 , ta có: log c a c b a b =  = . Ngoài ra: Lôgarit thập phân của b là lôgarit cơ số 10 của số thực dương b : log 10 ; c c b b =  = Lôgarit tự nhiên của b là lôgarit cơ số e của số thực dương b : ln . c c b e b =  = b) Tính chất Với a a   0, 1 và b  0 , ta có: log 1 0 a = log 1 a a = log c aa c = log b a b = . 6. Một số tính chất của phép tính lôgarit Trong mục này, ta xét a a   0, 1 và b  0. a) Lôgarit của một tích, một thương Với m n   0, 0 , ta có: log log log a a a (mn m n ) = + ; log log log a a a m m n n     = −   Nhận xét: 1 log log a a b b     = −   .
b) Lôgarit của một luỹ thừa Với mọi số thực  , ta có: log log a a b b  = . Nhận xét: Với mọi số nguyên dương n  2 , ta có: 1 log log n a a b b n = . c) Đổi cơ số của lôgarit Với ab, là hai số thực dương khác 1 và c là số thực dương, ta có: log log log a b a c c b = . Nhận xét: Với ab, là hai số thực dương khác 1, 0 c  và   0 , ta có những công thức sau: 1 1 log .log log ; log ; log log log a b a a a a a b b c c b b b a  = = = . 7. Hàm số mũ Cho số thực a a a ( 0, 1)   . Hàm số x y a = được gọi là hàm số mũ cơ số a . Xét hai trường hợp: ( 1) x y a a =  (0 1) x y a a =   Tập xác định: ; tập giá trị: (0;+ ). Tính liên tục Hàm số ( 1) x y a a =  là hàm số liên tục trên . Giới hạn đặc biệt lim 0, lim . x x x x a a    →− →+ = = + Sự biến thiên Hàm số đồng biến trên . Bảng biến thiên Đồ thị Tập xác định: ; tập giá trị: (0;+ ). Tính liên tục Hàm số (0 1) x y a a =   là hàm số liên tục trên . Giới hạn đặc biệt lim , lim 0. x x x x a a    →− →+ = + = Sự biến thiên Hàm số nghịch biến trên . Bảng biến thiên Đồ thị 8. Hàm số lôgarit
Cho số thực a a a ( 0, 1)   . Hàm số loga y x = được gọi là hàm số lôgarit cơ số a . Xét hai trường hợp: y x a =  log , 1 a ( ) y x a =   log , 0 1 a ( ) 1. Tập xác định: (0; ) + 2. Sự biến thiên. 1 ' 0, 0 ln y x x a =    → hàm số luôn đồng biến trên (0; ) + Giới hạn đặc biệt: 0 lim log , lim log . a a x x x x → + →+ = − = + Tiệm cận: Oy là tiệm cận đứng 3. Bảng biến thiên. 4. Đồ thị 1. Tập xác định: (0; ) + 2. Sự biến thiên. 1 ' 0, 0 ln y x x a =    → hàm số luôn nghịch biến (0; ) + Giới hạn đặc biệt: 0 lim log , lim log . a a x x x x → + →+ = + = − Tiệm cận: Oy là tiệm cận đứng. 3. Bảng biến thiên. 4. Đồ thị B. CÂU TẬP VẬN DỤNG Câu 1: Trong nuôi trồng thuỷ sản, độ pH của môi trường nước sẽ ảnh hưởng đến sức khoẻ và sự phát triển của thuỷ sản. Độ pH thích hợp cho nước trong đầm nuôi tôm sú là từ 7,2 đến 8,8 và tốt nhất là trong khoảng từ 7,8 đến 8,5. Phân tích nồng độ H +     trong một đầm nuôi tôm sú, ta thu được 8 H 8 10 + −   =    (Nguồn: https://nongnghiep.farmvina.com). Hỏi độ pH của đầm đó có thích hợp cho tôm sú phát triển không? Câu 2: a) Nước cất có nồng độ H + là 7 10 mol / L − . Tính độ pH của nước cất. b) Một dung dịch có nồng độ H + gấp 20 lần nồng độ H + của nước cất. Tính độ pH của dung dịch đó. Câu 3: Trong Hoá học, độ pH của một dung dịch được tính theo công thức pH H log + = −     , trong đó H +     là nồng độ ion hydrogen tính bằng mol/lít. Nếu pH  7 thì dung dịch có tính acid, nếu pH  7 thì dung dịch có tính base và nếu pH = 7 thì dung dịch là trung tính.