Tiêu đề TOAN-11_C5_B15.1_GIOI-HAN-CUA-DAY-SO_TULUAN_HDG.docx ✅

CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 1 Sưu tầm và biên soạn V GIỚI HẠNHÀM SỐ LIÊN TỤC BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ LÝ THUYẾT. I = = = I 1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ Ta nói rằng dãy số nu có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu nu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim0n n u  hay lim0nu hay 0nu khi n . Ta nói dãy số nv có giới hạn là a (hay nv dần tới a ) khi ,n nếu lim0.n n va  Kí hiệu: limn n va  hay nva khi .n Từ định nghĩa ta có các kết quả sau: a) lim0lim0nn nn uu  ; hay lim00 n ; b) 1 lim0 n n ; *1lim0,0,k n kk nℕ ; 1 lim0 n n ; 3 1 lim0 n n ; c) lim0n n q  nếu 1q ; d) Cho hai dãy số nu và nv Nếu nnuv với mọi n và lim0n n v  thì lim0n n u  . 2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ a) Nếu limnua và limnvb và c là hằng số. Khi đó ta có :  limnnuvab  limnnuvab  lim.v.nnuab  lim,0n n ua b vb  lim..ncuca . limnua và 33lim nua  Nếu 0nu với mọi n thì 0a và limnua . b) Cho ba dãy số ,nnuv và nw . Nếu ,nnnuvwn và limlim,nnuwaaℝ thì limnva (gọi định lí kẹp). c) Điều kiện để một dãy số tăng hoặc dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:  Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.  Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn. Kỹ năng sử dụng máy tính
CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 2 Sưu tầm và biên soạn Tính limn n u  thì nhập nu và ấn phím CALC 10 10n . 3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vô hạn nu có công bội q , với 1q được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 1 1 u S q  4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ • Ta nói dãy số nu có giới hạn là  khi n , nếu nu có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: limnu hay nu khi .n • Dãy số nu có giới hạn là  khi n , nếu limnu . Kí hiệu: limnu hay nu khi .n Nhận xét: lim.nnuu Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận các kết quả sau a) limkn với k nguyên dương; b) limnq nếu 1q . Quy tắc tính giới hạn vô cực a) Nếu lim  nua và limnv thì lim0n n u v . b) Nếu lim 0nua , lim0nv và 0,0nvn thì lim.n n u v c) Nếu limnu và lim0nva thì lim..nnuv Quy tắc tìm giới hạn tích nnlimu.v Nếu nnlimuL,limv(hay) . Khi đó nnlimuv nlimuL nlimv nnlimuv            
CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 3 Sưu tầm và biên soạn Quy tắc tìm giới hạn thương n n u lim v nlimu nlimv Dấu của nv n n u lim v L  Tùy ý 0 L0 0   0   L0 0   0   Nhận xét: Ta thường dùng quy tắc giới hạn tích trong bài toán giới hạn vô cực của dãy số. TÓM TẮT CÁC GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt: 1 lim0 nn ; 1 lim0() k n k n  ℤ lim0(1)n n qq  ; lim n CC  2. Định lí: a) Nếu lim u n = a, lim v n = b thì  lim = a + b  lim = a – b  lim = a.b  limn n ua vb b) Nếu u n  0, n và lim u n = a thì a  0 và lim nua c) Nếu nnuv ,n và lim v n = 0 thì lim u n = 0 d) Nếu lim u n = a thì lim nua 3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + … = 1 1 u q 1q 1. Giới hạn đặc biệt: limn ; lim()knkℤ lim(1)nqq 2. Định lí: a) Nếu lim nu thì 1 lim0 nu b) Nếu lim u n = a, lim v n =  thì lim n n u v = 0 c) Nếu lim u n = a  0, lim v n = 0 thì lim n n u v = .0 .0 n n neáuav neáuav     d) Nếu lim u n = +, lim v n = a thì lim = 0 0 neáua neáua    * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0 0 ,   ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.
CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC Page 4 Sưu tầm và biên soạn HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN. II = = =I DẠNG 1: CHỨNG MINH DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 Phương pháp giải: Để chứng minh lim0nu ta chứng minh với mỗi số 0a nhỏ tùy ý luôn tồn tại một số on sao cho nouann . Câu 1: Chứng minh rằng 2 1 lim0 1n  Lời giải Với 0a nhỏ tùy ý, ta có 22 111 1 11an nna  . Chọn 1 1on a    . Do đó 0a , 0:onnn ta luôn có 2 1 1a n 2 1 lim0 1n  . Chú ý: Kí hiệu a là lấy phần nguyên của a . Câu 2: Chứng minh rằng 2 sin lim0 2 n n  Lời giải Với 0a nhỏ tùy ý, ta có 22 sinsin11 2 222 nn an nnna  . Chọn 1 2on a     . Do đó 0a , 0:onnn ta luôn có 2 sin 2 n a n  2 sin lim0 2 n n  . Chú ý: Kí hiệu a là lấy phần nguyên của a . Câu 3: Chứng minh rằng  11 11 lim0 23 n nn     Lời giải Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được **11 2,, 2 n nnnn nℕℕ . Với 0a nhỏ tùy ý, ta có  111111 111111111 2323222 n nnnnnnnan na   . Chọn 1 on a     . Do đó 0a , 0:onnn ta luôn có  11 11 23 n nna     11 11 lim0 23 n nn     . Chú ý: Kí hiệu a là lấy phần nguyên của a . DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN BẰNG 0 CỦA DÃY SỐ Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn 0 và các giới hạn đặc biệt để giải quyết bài toán.