Tiêu đề Bài 02_Dạng 03. Bài toán tối ưu, thực tế liên quan đến max min_GV.pdf ✅

GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 1 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Dạng 3: Bài toán tối ưu, thực tế liên quan đến max min • Bài toán chuyển động ▪ Gọi s t( ) là hàm quãng đường; v t( ) là hàm vận tốc; a t( ) là hàm gia tốc ▪ Khi đó s t v t v t a t   ( ) = = ( ); ( ) ( ) • Bài toán thực tế - tối ưu ▪ Biểu diễn dữ kiện cần đạt max – min qua một hàm f t( ) ▪ Khảo sát hàm f t( ) trên miền điều kiện của hàm và suy ra kết quả. Bài tập 1: Một chất điểm chuyển động có vận tốc tức thời v t( ) phụ thuộc vào thời gian t theo hàm số ( ) 4 2 v t t t = − + + 24 500 (m/s). Trong khoảng thời gian từ t = 0 (s) đến t = 5 (s) chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm nào? Lời giải Ta có ( ) ( ) 3 2 0 4 48 4 12 0 2 3 t v t t t t t t  =  = − + = − − =    =  Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên 0;5 ta có: v v v (0 500; 2 3 664; 5 475 ) = = = ( ) ( ) Vậy vận tốc lớn nhất khi t =  2 3 4 giây. Bài tập 2: Sự phân huỷ của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hoà tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ ( t  0 ) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số có đồ thị là đường cong ( ) 2 15 5 9 1 t y t t = − + như hình bên.Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất? Lời giải Xét hàm số ( ) 2 15 5 9 1 t y t t = − + trên 0;+ ) có ( ) ( ) 2 2 2 135 15 1 0 3 9 1 t y t t t −  = =  = + Mặt khác: ( ) 2 15 lim lim 5 5 t t 9 1 t y t →+ →+ t   = − =     + và ( ) 2 0 15 lim lim 5 5 t t 9 1 t y t → →+ t   = − =     + Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta thấy  ) ( ) 0; min 0 y t + = và  ) ( ) 0; max 5 y t + = BÀI TẬP TỰ LUẬN
2 GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Bài tập 3: Tính diện tích lớn nhất max S của một hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R = 6 cm nếu một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp. Lời giải Gọi chiều dài AD x = 2 với 0 6  x 2  = − AB x 36 Diện tích hình chữ nhật là 2 S x x = − 2 . 36 và xét hàm số ( ) 2 f x x x = − 2 36 trên (0;6) Ta có: ( ) 2 2 2 36 0 3 2 36 x f x x x x  = − − =  =  − Bảng biến thiên của hàm số f x( ) như sau: Vậy giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật đạt được là 2 36cm . Bài tập 4: Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3 288dm dm3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng/ 2 m . Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người đó trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu? Lời giải Gọi x x(  0) là chiều rộng của đáy bể. Khi đó chiều dài của đáy bể là 2x là chiều cao của bể là 2 0,144 x . Khi đó diện tích cần xây là 2 0,864 2x x + Xét hàm số ( ) 2 0,864 f x x2 x = + có ( ) 2 0,864 f x x x 4 0 0,6 x  = − =  = Bảng biến thiên của hàm số f x( ) như sau: Từ bảng biên thiên ta có min 0,6 2,16 f x f ( ) = = ( ) Vậy chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây bể là: 500000.2,16 1080000 = đồng.
GV. Phan Nhật Linh - SĐT: 0817 098 716 3 Chương 1. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS TOÁN 12 - CHƯƠNG TRÌNH MỚI Bài tập 5: Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 3 1000cm . Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/ 2 cm , trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/ 2 cm . Tìm các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất. Lời giải Gọi bán kính của đáy bình là x x (cm , 0 )  suy ra chiều cao là ( ) 2 100 cm .x Chi phí để sản xuất một chiếc bình là: ( ) 2 2 2000 1500 T x x x 2.1,2. . 0,75. 2,4 x x = + = +   nghìn Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là thấp nhất thì T x( ) là nhỏ nhất Xét hàm số T x( ) có ( ) 3 2 1500 625 4,8 0 2 T x x x x    = − =  = (thoả mãn) Bảng biến thiên: Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất thì bán kính đáy của bình là 3 625 cm 2 và chiều cao của bình là ( ) 2 3 100 cm 625 . 2        