Tiêu đề Chương 4_Bài 13_Ứng Dụng Hình Học Của Tích Phân_Toán 12_KNTT_Lời Giải_Phần 1.docx ✅

BÀI 13: ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 1. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG a) Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng ,xaxb Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số ()fx liên tục, trục hoành và hai đường thẳng ,()xaxbab , được tính bằng công thức: |()|d. b a Sfxx  Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 3yx , trục hoành và hai đường thẳng 0,2xx . Lời giải Diện tích hình phẳng cần tính là: 22 33 00 Sxdxxdx  2 4 0 404. 4 x  Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số sinyx , trục hoành và hai đường thẳng 0,2xx Lời giải Diện tích hình phẳng cần tính là 22 00 |sin||sin||sin|Sxdxxdxxdx    2 0 sin(sin)xdxxdx     2 0coscos4.xx  b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng ,xaxb
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số (),()fxgx liên tục trên đoạn  ;ab và hai đường thẳng ,xaxb , được tính bằng công thức Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số (),()fxgx liên tục trên đoạn  ;ab và hai đường thẳng ,xaxb , được tính bằng công thức ()() b a Sfxgxdx  Chú ý. Nếu hiệu ()()fxgx không đổi dấu trên đoạn  ;ab thì ()()bb aa fxgxdxfxgxdx  Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol 224,yxyx và hai đường thẳng 1,1xx Lời giải Diện tích hình phẳng cần tính là 11222 11 4d42dSxxxxx   1123 11 220 42d4. 33xxxx      Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số sin,cosyxyx và hai đường thẳng 0, 4xx  Lời giải Diện tích hình phẳng cần tính là 44 00 |sincos|(cossin)Sxxdxxxdx   40(sincos)21.xx  
2. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH THẾ TÍCH VẬT THỂ a) Tính thể tích của vật thể Công thức tính thể tích vật thể Cho một vật thể trong không gian Oxyz . Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ ,xaxb . Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là ()Sx . Giả sử ()Sx là hàm số liên tục trên đoạn  ; ab Khi đó thể tích V của phần vật thể B được tính bởi công thức: ()d. b a VSxx  Ví dụ 5. Tính thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h . Lời giải Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ và hai đáy nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại 0x và xh . Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng (0)xxh cắt khối lăng trụ theo mặt cắt có diện tích không đổi là ()SxS . Do đó, thể tích của khối lăng trụ là: 0 00 ()d d. hh h VSxxSxSxSh  Ví dụ 6. Tính thể tích của khối chóp đều có đáy là hình vuông cạnh L và chiều cao là h . Lời giải
Chọn trục Ox sao cho gốc O trùng với đỉnh của khối chóp và trục đi qua tâm của đáy. Khi đó, đáy của khối chóp nằm trên mặt phẳng vuông góc với Ox tại xh . Mỗi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng (0)xxh , cắt khối chóp theo mặt cắt là hình vuông có cạnh là a . Theo định lí Thalès, ta có 2 2 a x Lh , suy ra L ax h . Do đó, diện tích của mặt cắt này là 2 2 2S(x)L x h . Vậy thể tích của khối chóp này là 223 22 22 000 1 ()d d 33 h hh LLx VSxxxxLh hh  . Chú ý. Bằng ứng dụng của tích phân, người ta chứng minh được thể tích của khối chóp bất kì bằng 1 3 diện tích mặt đáy nhân với chiều cao của nó. b) Tính thể tich khối tròn xoay Công thức tính thể tích của khối tròn xoay Cho hàm số ()fx liên tục, không âm trên đoạn  ; .ab Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ()yfx , trục hoành và hai đường thẳng ,xaxb xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay. Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm  ;bxa được một hình tròn có bán kính ()fx . Thể tich của khối tròn xoay này là 2 (). b a Vfxdx  Ví dụ 7. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx , trục hoành và hai đường thẳng 0,1xx .