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Éléments du calcul différentiel dans les espaces de Banach Azzouz AWANE 2020-2021 Azzouz AWANE Calcul différentiel Notes historiques Le développement du calcul infinitésimal est attribué à Archimède, Fermat, Leibniz et Newton. Équation de Newton La mécanique classique repose sur l’équation différentielle de Newton : ·· x= F(x, · x,t). Le calcul différentiel se situe à la base de l’étude de la mécanique classique, puisque, cette équation dépend de la position dans l’espace x(t), de la vitesse qui n’est autre que la dérivée · x (t) de x (t) et de l’accélération ·· x (t) qui est la dérivée seconde de x (t), · · · Azzouz AWANE Calcul différentiel
La référence principale Azzouz AWANE Calcul différentiel Espaces vectoriels normés Norme et distance associée. Soit E un espace vectoriel sur K (K = R ou C). On appelle norme sur E, toute application N : E −→ R+ satisfaisant les propriétés suivantes : 1 (∀x ∈ E)(N(x) = 0 ⇐⇒ x = 0); 2 N(λx) = |λ|N(x), ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E ; 3 N(x + y) ≤ N(x) + N(y), ∀x, y ∈ E. Un espace vectoriel muni d’une norme est appelé espace vectoriel normé (e.v. normé). Soit (E, N) un espace vectoriel normé. L’application d : E × E −→ R+ défini par d(x, y) = N(x − y), définit une distance sur l’ensemble E, dite distance associée à la norme N. Azzouz AWANE Calcul différentiel
Espaces vectoriels normés Exemples 1. Soient E = Kn et p un nombre réel ≥ 1. Pour tout x = (x1, · · · , xn) ∈ E, on pose kxkp = p vuut Xn i=1 |xi | p et kxk∞ = max (|x1|, · · · , |xn|). Les applications k.kp et k.k∞ définissent des normes sur E. Azzouz AWANE Calcul différentiel Espaces vectoriels normés 2. Soit X un ensemble quelconque et E = A (X, K) l’ensemble des applications de X dans K. Pour tous f , g ∈ E, λ ∈ K et x ∈ X, on pose (f + g)(x) = f (x) + g(x) (λf )(x) = λf (x). Soit B(X, K) le sous ensemble de E formé par les fonctions bornées : B(X, K) = {f ∈ E | supx∈X|f (x)| < ∞} . Pour tous f ∈ B(X, K) on pose kf k = supx∈X|f (x)|. L’application f 7−→ kf k définit une norme sur B(X, K), appelée norme de la convergence uniforme. Azzouz AWANE Calcul différentiel
Espaces vectoriels normés 3. Soit E = C 0 ([a, b], R) l’espace vectoriel des fonctions numériques réelles continues sur [a, b], pour tous p ≥ 1 et f ∈ E on pose : kf k = p sZ b a |f (x)| p dx. L’application f 7−→ kf k de E dans R+ définit bien une norme sur E, appelée norme de Hölder. Azzouz AWANE Calcul différentiel Espaces vectoriels normés 4. Soient p ≥ 1 et l p l’ensemble des suites réelles (xn)n qui vérifient X∞ n=0 |xn| p < ∞ l p est un sous espace vectoriel de R N (l’ensemble des suites de nombres réels). Pour tout x = (xn)n ∈ l p on pose : kxk = p vuut X∞ n=0 |xn| p, l’application x 7−→ kxk de l p dans R+ définit bien une norme sur l p . Azzouz AWANE Calcul différentiel